0.3. Осциллятор с кубичной нелинейностью. Зависимость частоты колебаний от амплитуды

Важным свойством нелинейного осциллятора является зависимость частоты колебаний от амплитуды. Это свойство, присущее нелинейным осцилляторам различной природы, например, математическому маятнику, называется неизохронностью колебаний. В оптике оно приводит к своеобразным эффектам самовоздействия световых волн: самофокусировке или самодефокусировке световых пучков, самомодуляции импульсов и т. п.

Рассмотрим неизохронность нелинейных колебаний на примере кубично-нелинейного осциллятора без затухания. Свободные колебания такого осциллятора описываются уравнением

. (0.44)

Применяя метод малых возмущений, потребуем, чтобы нелинейный член в этом уравнении был значительно меньше линейного. Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство

, (0.45)

т. е. чтобы амплитуда колебаний осциллятора была достаточно мала. Предположим, что в условиях слабого проявления нелинейности колебания осциллятора близки к гармоническим, однако их частота отличается от частоты бесконечно малых колебаний . Обозначив амплитуду колебаний , ищем приближенное решение уравнения (0.44) в виде

, (0.46)

где

(0.47)

и

. (0.48)

Выведем уравнение для . Подставив (0.46) в (0.44), получим уравнение

Условие (0.48) позволяет линеаризовать это уравнение по , сохранив в нем лишь слагаемые низшего порядка малости (линейные) по

. (0.49)

Используя (0.47), перепишем это уравнение следующим образом

или, с учетом (0.45), (0.46), (0.48), как

. (0.50)

Теперь подставим (0.47) в (0.50) и используем известную тригонометрическую формулу

Получим уравнение

. (0.51)

Итак, изменение во времени малой компоненты определяется линейным уравнением (0.51). Для того чтобы компонента не содержала осцилляции на частоте и основного колебания , потребуем, чтобы коэффициент при в (0.51) обратился в ноль. Это приводит к соотношению

, (0.52)

а уравнение для принимает вид

. (0.53)

Соотношение (0.52) определяет искомую зависимость частоты колебаний от амплитуды колебаний нелинейного осциллятора . Принимая во внимание (0.45), эту зависимость можно приближенно представить в виде

, (0.54)

где

. (0.55)

График зависимости показан на рис. 0.4. Обратимся теперь к проявлению неизохронности колебаний в оптике.

Рис. 0.4. Неизохронность колебаний нелинейного осциллятора: зависимость частоты колебаний от амплитуды колебаний ( — частота бесконечно малых (линейных) колебаний)

Фазировка осциллятора внешним полем. Неизохронность нелинейного осциллятора в оптике приводит к тому, что частота осциллятора, возбужденного световым полем, зависит от интенсивности световой волны:

. (0.56)

Эта зависимость, в свою очередь, вызывает появление дополнительного фазового набега , пропорционального интенсивности света:

. (0.57)

Таким образом, возникает возможность фазировки осциллятора внешним полем. Это обстоятельство принципиально отличает нелинейный осциллятор от обычного гармонического осциллятора.

Нелинейная фазировка осцилляторов приводит к эффектам самовоздействия мощных модулированных световых волн: самофокусировке пучков и самомодуляции импульсов.