0.1. Материальное уравнение нелинейной среды
Теория нелинейно-оптических явлений строится на основе материальных уравнений и уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла для диэлектрической нейтральной немагнитной среды имеют вид
,
,
,
,
где
- скорость света в среде,
.
Из
уравнений Максвелла вытекает волновое
уравнение, связывающее напряженность
электрического поля световой волны
и поляризацию среды
.
,
(0.4)
которое в случае изотропной среды принимает вид
.
(0.5)
Уравнения (0.4) и (0.5) справедливы в равной мере, как для линейных, так и для нелинейных сред. Согласно этим уравнениям, поляризация среды есть источник светового поля.
Поляризация среды, в свою очередь, возникает под действием падающей световой волны. Наведение поляризации световым полем описывается материальным уравнением
,
которое отражает структуру и свойства среды.
Часть поляризации среды, нелинейно зависящей от напряженности светового поля, называется нелинейной поляризацией. Выделяя в поляризации среды линейную и нелинейную компоненты, можно записать материальное уравнение среды:
.
(0.6)
Простейшее материальное уравнение нелинейной среды можно записать в виде
.
(0.7)
Материальное уравнение вида (0.7) описывает изотропную нелинейную среду с безынерционным локальным откликом на световое поле. Заметим, что относительная величина нелинейных слагаемых в (0.7) возрастает с увеличением напряженности светового поля, т. е. с увеличением интенсивности световой волны. Это объясняет тот факт, что нелинейные эффекты наблюдаются прежде всего в сильных световых полях.
Коэффициенты
…
зависят от свойств среды и называются
оптическими восприимчивостями. В
частности,
— линейная оптическая восприимчивость,
— нелинейная восприимчивость второго
порядка,
— нелинейная восприимчивость третьего
порядка и т. д.
Из (0.5), (0.6) видно, что нелинейная поляризация среды является источником новых спектральных компонент поля (оптических гармоник, комбинационных частот и т. п.).
Таким образом, поляризация среды есть нелинейная функция напряженности светового поля.
Для определения связи оптических свойств вещества с интенсивностью излучения используем классическую модель Лоренца. Вычислим нелинейную поляризацию и нелинейную восприимчивость среды, рассматривая ее как ансамбль нелинейных осцилляторов.
Поляризация
среды
определяется в этом случае как дипольный
момент единицы ее объема. Считая среду
однородной, запишем
,
(0.8)
где
— число атомов в единице объема
,
(0.9)
— дипольный момент
элементарного осциллятора (атома),
— заряд электрона,
— смещение электрона относительно
положения равновесия.
Таким образом, для вычисления поляризации среды необходимо провести анализ движения нелинейного осциллятора.
0.2. Нелинейный осциллятор
Используя второй закон Ньютона, уравнение движения осциллятора запишем в виде
.
(0.10)
Здесь
— масса электрона,
— заряд электрона,
— смещение центра электронного облака
относительно атомного ядра (рис. 0.1),
— напряженность электрического поля
световой волны,
- тормозящая сила, которую можно
представить в виде типичном для
затухающего осциллятора (осциллятора
с потерями)
,
— возвращающая сила, обусловленная
притяжением электрона к ядру и связанная
с потенциальной энергией
электрона в поле ядра соотношением
(0.11)
Рис. 0.1. Классическая модель атома
Будем
отсчитывать координату
и энергию
относительно значений, соответствующих
положению равновесия осциллятора. Тогда
для точки равновесия имеем:
,
.
Производная
поскольку в положении равновесия
осциллятора его потенциальная энергия
имеет экстремум (минимум).
В
окрестности положения равновесия
электрона (
0)
потенциальную энергию
можно представить в виде разложения по
степеням
:
.
(0.12)
или
(0.13)
В случае малых колебаний можно ограничиться в разложении (0.13) членом, квадратичным по :
.
(0.14)
Это приближение соответствует гармоническому осциллятору и линейному уравнению колебаний
,
(0.15)
где
— собственная частота малых колебаний
осциллятора. Если же амплитуда колебаний
становится большой, то необходимо
учитывать в (0.13) слагаемые, пропорциональные
,
и т. д. При этом уравнение колебаний (0.10)
становится нелинейным и движение
осциллятора приобретает новые качественные
особенности. Из уравнения (0.10) видно,
что проявления нелинейных эффектов
следует ожидать, прежде всего, в сильных
световых полях.
Конкретный вид нелинейности определяется типом осциллятора. Если функция является четной, т. е. система обладает центром симметрии, то в низшем нелинейном приближении имеем
,
(0.16)
и уравнение колебаний содержит кубичную нелинейность:
.
(0.17)
Для систем без центра симметрии учет первой нелинейной поправки дает
(0.18)
и, соответственно, квадратично-нелинейное уравнение колебаний
.
(0.19)
В
уравнениях (0.17), (0.19)
и
— параметры нелинейности.
Квадратичная нелинейность характерна для анизотропных кристаллов, кубичной оптической нелинейностью обладают изотропные среды (газы, жидкости, стекла),
Графики потенциальной энергии гармонического осциллятора, симметричного нелинейного осциллятора и ассиметричного осциллятора показаны на рис. 0.2.
Рис. 0.2. Потенциальная энергия осцилляторов гармонического (а), симметричного нелинейного (б), асимметричного (в). На рис б, в пунктиром показана энергия в параболическом (гармоническом) приближении
Здесь мы сталкиваемся с типичной для нелинейной оптики ситуацией, когда уравнение, описывающее нелинейный эффект, не имеет точного решения или это решение настолько сложно, что практически им трудно воспользоваться. В этих условиях приходится прибегать к различным приближенным методам, причем выбор конкретного метода для каждой задачи, вообще говоря, индивидуален.