0.2.1. Особенности собственного поглощения
Квантовомеханический
анализ вероятности перехода электрона
из состояния
в валентной зоне в состояние
в зоне проводимости показывает, что
такие переходы возможны только тогда,
когда выполняется правило отбора
(0.2)
Так как волновые векторы электрона в начальном и конечном состояниях много больше волнового вектора фотона, правило отбора можно выразить как
(0.3)
Таким образом, в соответствии с законом сохранения импульса, разрешены, т.е. могут осуществляться только «вертикальные» переходы без изменения волнового вектора.
Поэтому
следует рассматривать явление межзонного
поглощения в полупроводниках в координатах
энергия – импульс. Энергия перехода
должна зависеть от волнового вектора
электрона
.
Импульс электрона равен
,
его энергия –
.
Принимая
,
энергию электрона можно представить
как
,
(0.4)
а энергию дырки
(0.5)
Пусть . Очевидно, что при образовании пары электрон-дырка энергия кванта будет равна сумме энергий электрона и дырки
(0.6)
Из
выражения (0.6) следует, что в конкретном
веществе, когда
,
,
определены, квант света может быть
поглощен только носителями с определенным
значением волнового числа
.
Коэффициент поглощения для прямых
переходов можно определить через сумму
вероятностей для всех состояний с
определенным значением волнового числа
и
- число состояний с определенным значением
волнового числа для дырки и электрона,
- размерный коэффициент,
- фермиевский коэффициент заполнения
зон. Расчет показывает, что
(0.7)
-
эффективные массы электронов и дырок,
- заряд электрона,
- коэффициент преломления полупроводника.
Рис. 0.4. Схема запрещенной зоны в полупроводнике с прямыми переходами
Для большинства сред с прямозонными переходами для разрешенных прямозонных переходов для оценок можно применять выражение:
(0.8)
в см-1, (
)
в электронвольтах.
Для
прямозонных запрещенных (с точки зрения
квантовой механики) переходов в выражении
(0.8) следует степень заменить на
.
В
области энергий фотонов, не достаточных
для вертикальных переходов, переходы
электронов в зону проводимости все же
осуществляются, благодаря тому, что
правило отбора (0.3), которое должно строго
соблюдаться в идеальном периодическом
кристалле, снимается за счет взаимодействия
электронов с фононами. Электрон оптически
возбуждается из состояния
в
и переходит из
в
с одновременным испусканием или
поглощением фонона. В результате волновой
вектор электрона значительно изменяется
и весь процесс в целом можно рассматривать
как непрямой переход из
в
с поглощением фотона
.
У германия и кремния переходы непрямые
(рис. 0.5).
Фонон
– частица, которая дает необходимое
изменение импульса
при непрямых переходах, причем возможно
как поглощение, так и испускание фонона.
(0.9)
В этом случае:
(0.10)
~100÷300
К – фактор распределения Бозе-Эйнштейна
для фононов,
-
постоянная Больцмана. Так, например,
при поглощении излучения неодимового
лазера кремнием:
=1,09
эВ,
=1,17
эВ,
=0,05
эВ.
Рис.
0.5. Схема перехода электрона при непрямых
переходах в кристалле германия;
валентная зона; с
зона проводимости.
Сложная структура валентной зоны не
показана
При
больших температурах
,
разлагая экспоненту в ряд, получим, что
поглощение пропорционально температуре
(
).
Для
полупроводника существенно, что для
межзонных переходов
(то есть
).
Действительно, поскольку
,
то, оценивая максимальное значение,
получим
,
а показатель преломления
в этом случае равен 3 - 4, то есть
.
Как следует из сказанного, коллективные эффекты здесь не сказываются, то есть поглощение и преломление света могут рассчитываться порознь (свет преломляется, идет внутрь полупроводника и «изредка» поглощается).