1.1.2. Дисперсионные соотношения

Исследуем амплитудно-частотные , и фазочастотную характеристики дисперсионных кривых (рис. 1.10).

Из выражения (1.77) (см. рис. 1.10 а) следует, что при малых частотах электромагнитной волны ( ) фаза мала и отрицательна. Это означает, что смещение электрона из положения равновесия отстает по фазе от световой волны на очень небольшую величину. С возрастанием частоты отставание смещения по фазе увеличивается. При , достигаются наиболее благоприятные условия передачи энергии падающей электромагнитной волны оптическим электронам атомов. При дальнейшем возрастании частоты отставание по фазе смещения от вынуждающей силы продолжает увеличиваться и при очень больших частотах ( ) приближается к .

Функция при стремится к 1. Максимальное и минимальное значение показатель преломления принимает вблизи частоты, соответствующей максимуму линии поглощения ( ). Экстремумы можно определить, приравняв к нулю производную . Соответствующие расчеты показывают, что расстояние между экстремумами равны ширине линии поглощения , т.е. пропорциональны коэффициенту затухания . Показатель поглощения имеет форму лоренцевой линии поглощения с максимумом при и полушириной .

Из условий нормировки следует, что , причем основной вклад в величину интеграла дает интегрирование вблизи .

Графическая зависимость от частоты называется дисперсионной кривой. Если показатель преломления растет с частотой, то дисперсия называется нормальной. Вблизи резонансной частоты показатель преломления с увеличением частоты уменьшается. Это явление называется аномальной дисперсией.

В области прозрачности, т.е. в той области частот, для которых можно положить , и тогда формула (1.86) приобретает вид

. (1.92)

Если диэлектрик состоит из нескольких видов атомов, имеющих собственные частоты колебаний , то для дисперсии показателя преломления справедливо выражение

(1.93)

Рис. 1.10. Зависимость фазы (а), показателя преломления (б), показателя поглощения (в) в веществе от частоты.

Однако дисперсия создается не только в результате колебаний электронов, но и также в результате колебаний ионов. Ввиду большей массы ионов их собственная частота значительно меньше частот собственных колебаний электронов, т.е. лежит в дальней инфракрасной области и не оказывает существенного влияния на ход дисперсионной кривой в видимой области спектра. Однако при использовании лазеров на СО₂ ( = 10, 6 мкм) этот факт уже необходимо принимать во внимание. Отметим, что не все электроны под действием поля электромагнитной волны колеблются одинаково и их вклад в дисперсию далеко не равноценен. Поэтому в уточненной формуле вместо должна стоять величина , в которой называется силой осциллятора. Только с учетом сил осцилляторов формула (1.93) дает удовлетворительное согласие с экспериментом. Сила осцилляторов может быть рассчитана только в рамках квантовой теории.

Во всей области прозрачности растет с увеличением частоты (нормальная дисперсия). При больших частотах ( ) показатель преломления стремится к единице, оставаясь меньше ее, поскольку в этом случае (1.93) принимает вид

(1.94)

Следовательно, для коротковолнового излучения диэлектрик является оптически менее плотной средой, чем вакуум. В частности, это значит, что от поверхности диэлектрика может наблюдаться полное отражение. В этом случае характер связи электронов в атоме не играет роли, а показатель преломления зависит лишь от общего числа колеблющихся электронов в единице объема.