Оценка адекватности статистических моделей

Для оценки адекватности полученной выборки используют вероятностный способ оценки по критерию Фишера.

x	yэ	yp	(yp-yэ)2
x1
x2
. . .
xn

Если расчётное значение критерия Фишера для соответствующего числа степеней свободы не больше, чем соответственное табличное значение критерия, то полученная статистическая модель с вероятностью 0,95 адекватна экспериментальной выборке:

F_p(α,β)≤F_т(α,β)

Расчетное значение критерия Фишера F_pопределяют следующим образом:

,где α,β – числа степеней свободы числителя и знаменателя соответственно;

S_ад– дисперсия адекватности;

S_в– дисперсия воспроизводимости.

Причем в данной формуле в числитель нужно ставить ту дисперсию из двух, которая больше. Таким образом значение критерия Фишера не может быть меньше единицы.

Выражение для дисперсии адекватности:

n – количество опытов (точек);

l – количество неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии.

Число степеней свободы числителя равно α=(n-l).

Определение дисперсии воспроизводимости различается для различных способов постановки эксперимента.

1. в случае, когда не выполняют параллельных опытов:

,

где Δy_max– максимальная погрешность измерения выхода для данного эксперимента. Фактически Δy_max- это сумма инструментальной и методологической погрешностей. В таком случае число степеней свободы β = ∞.

2. если для каждого значения x_iставятся параллельные опыты (с целью повышения достоверности), то определение дисперсии воспроизводимости требует дополнительных расчетов. В качестве значения выхода дляx_iпринимают среднее значениеy:

,

где m– число параллельных опытов.

Для каждого значения x_iопределяют построчную дисперсию:

Таким образом получается mзначений дисперсии. Из них берут наибольшую и наименьшую и производят оценку однородности выборки по критерию Фишера.

Расчетное значение критерия в этом случае

Если выполняется условие F_p(m-1,n-1)≤F_т, то выборка однородна и в качестве дисперсии воспроизводимости берем средневзвешенную дисперсию по всей экспериментальной выборке:

Если же выборка неоднородна, то её нельзя использовать для получения модели объекта.

Часто средневзвешенную дисперсию используют также для оценки адекватности моделей различных типов.

8. Методы идентификации динамических объектов и моделей случайных сигналов Модели объектов управления в дискретной форме представления

Используя понятие разности как аналог производной для дискретных систем универсальной характеристикой с помощью которой можно описывать динамику системы является разностное уравнение.

y(k+n)+a₁y(k+n-1)+a₂y(k+n-2)+...+a_ny(k)=

b₀U(k+n)+b₁U(k+n-1)+...+b_nU(k)

Решая это уравнение мы сможем получать единственные характеристики.

Дискретные передаточные функции

Если в системе имеются некоторые переменные, которые характеризуют внутренние свойства динамики объекта, то зная изменение этих переменных во времени мы можем говорить о динамике системы или объекта в целом.

Переменные состояния этого объекта:

y(k)=x₁(k)

y(k+1)=x₂(k)=x₁(k+1)

y(k+n-1)=x_n(k)=x_n-1(k+1)

y(k+n)=x_n(k+1)

Взяв от b_nдо b_n-1равно 0, b_n=1 и подставив соответствующие значения переменной состояния в соответствующее уравнение можем представить так:

y(k+n)=x_n(k+1)=-a₁x_n(k)- a₂x_n-1(k)-...- a_nx₁(k)+U(k)

Тогда это уравнение можно представить в следующей векторно-матричной форме:

	(1)	(2)	(3)	(4)

1. – матрица динамики

2. – вектор переменных состояния

3. – матрица управления

4. – вектор управления

Компактная запись данного выражения:

x(k+1)=Ax(k)+BU(k)

y(k)=CTx(k)