9

Лабораторная работа

Получение на ЭВМ равномерно распределенных

псевдослучайных чисел

1 Цель работы - изучение методов получения на ЭВМ равномерно распреде-ленных псевдослучайных чисел и тестов проверки их качества.

2 Теоретические сведения

При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воз-действий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных ( базовых ) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. Таким базовым процессом является последовательность чисел {х_i} = х₀, х₁, ¼, х_N, представляющих собой реализации независимых, равномерно распределенных на интервале ( 0, 1 ) случайных величин { e_i } = e₀, e₁, ¼, e_N. Но на ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для полу-чения значений х случайной величины e используются формулы ( алгоритмы ). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированны-ми, называются псевдослучайными.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида

х_i+1 = F ( х_i ), ( 1 )

представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число х₀ и постоянные параметры заданы.

Рассмотрим некоторые процедуры получения последовательностей равномер-но распределенных псевдослучайных чисел.

2.1 Метод серединных квадратов

Пусть имеется 2n-разрядное число, меньшее 1

х_i = 0, a₁ a₂ ¼ a_2n.

Возведем его в квадрат

х_i² = 0, b₁ b₂ ¼ b_4n,

а затем отберем средние 2n разрядов, которые и будут являться очередным чис-лом псевдослучайной последовательности

х_i+1 = 0, b_n+1 b_n+2 ¼ b_3n.

Этому методу соответствует рекуррентное соотношение

х_i+1 = D [ 10^-2n Ц [ 10³ⁿ х_i² ] ], ( 2 )

где D [ × ] и Ц [ × ] означают соответственно дробную и целую часть числа в квадратных скобках.

Недостаток метода - наличие корреляции между числами последовательности, а в ряде случаев случайность вообще может отсутствовать. Кроме того, при не-которых i^* может наблюдаться вырождение последовательности, т.е. х_i = 0 при

i ³ i^*.

2.2 Метод середины произведения

Метод является модификацией метода серединных квадратов и состоит в том, что два 2n-значных числа перемножаются и средние 2n цифр этого произведения принимаются в качестве следующего числа последовательности. Таким образом, если

х_i-1 = 0, a₁ a₂ ¼ a_2n,

х_i = 0, b₁ b₂ ¼ b_2n,

то для получения числа х_i+1 необходимо перемножить х_i-1 и х_i

х_i-1 × х_i = 0, c₁ c₂ ¼ c_4n,

а затем отобрать средние 2n цифр этого произведения

х_i+1 = 0, c_n+1 c_n+2 ¼ c_3n.

Данному методу соответствует рекуррентное соотношение

х_i+1 = D [ 10^-2n Ц [ 10³ⁿ х_i × х_i-1 ] ] ( 3 )

при заданных двух начальных числах х₀ и х₁.

Несмотря на то, что данный метод также имеет тенденцию к вырождению, но обеспечивает лучшее качество псевдослучайных чисел, чем у чисел, получен-ных с помощью метода серединных квадратов.