2.3 Мультипликативный метод

Широкое применение для получения последовательностей псевдослучайных равномерно распределенных чисел получили конгруэнтные процедуры генерации, которые могут быть реализованы мультипликативным либо смешанным методом. Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, т.к. описываются в виде рекуррентного соотношения, когда функция ( 1 ) имеет вид

Х_i = lХ_i + m ( mod M ), ( 4 )

где Х_i, l, m, M - неотрицательные целые числа.

Раскрывая ( 2 ) получим

Х_i = lⁱ Х₀ + ( lⁱ - 1) m / ( l - 1 )( mod M ). ( 5 )

Если задано начальное значение Х₀, множитель l и аддитивная константа m, то ( 5 ) однозначно определяет последовательность целых чисел { Х_i }, составленную из остатков от деления на М, членов последовательности

{ lⁱ×Х₀ + m ( lⁱ - 1 ) / ( l - 1 )}.

Таким образом, для любого i ³ 1 справедливо неравенство Х_i < M. По целым числам последовательности { Х_i } можно построить последовательность { х_i } = { Х_i / M } рациональных чисел из единичного интервала ( 0, 1 ).

Мультипликативный метод задает последовательность неотрицательных це-лых чисел { Х_i }, не превосходящих М, по формуле

Х_i+1= l Х_i ( mod M ), ( 6 )

т.е. это частный случай ( 4 ) при m = 0.

Для машинной реализации наиболее удобна версия М = p^g, где p - число цифр в системе счисления, принятой в ЭВМ, а g - число бит в машинном слове.

Алгоритм построения последовательности для двоичной машины М = 2^g сво-дится к выполнению следующих операций:

1) выбрать в качестве Х₀ произвольное нечетное число;

2) вычислить коэффициент l = 8t ± 3, где t - любое целое положительное число;

3) найти произведение l Х₀, содержащее не более 2g значащих разрядов;

4) взять g младших разрядов в качестве первого числа последовательности Х₁, а остальные отбросить;

5) определить дробь х₁ = Х₁ / 2^g из интервала ( 0, 1 );

6) присвоить Х₀ = Х₁;

7) вернуться к пункту 3.

В настоящее время библиотеки стандартных программ ЭВМ для вычисления последовательностей равномерно распределенных случайных чисел основаны на конгруэнтных процедурах. Последовательность, полученная по мультипликативному методу, хорошо удовлетворяет статистическим критериям проверки качества.

2.4 Методы проверки качества псевдослучайных чисел с равномерным

законом распределения

Методы ( в дальнейшем, тесты ) проверки качества псевдослучайных чисел делятся на три группы:

а) тесты проверки ²случайности² последовательности псевдослучайных чисел;

б) тесты проверки равномерности закона распределения;

в) тесты проверки независимости последовательности.

Первые два теста основываются на статистических критериях согласия, из которых наиболее употребительным является статистический критерий согласия ( Пирсона ).

Пусть имеется h - случайная величина, о законе распределения которой выдвигается некоторая гипотеза, Х - множество возможных значений h. Разобьем Х на m попарно непересекающихся множеств Х₁, Х₂, ¼ ,Х_m, таких, что

P { hÎХ_j } = p_j > 0 при j = 1, 2, ¼, m,

p₁ + p₂ + ¼ p_m = P { hÎХ } = 1.

Выберем N независимых значений h₁, h₂, ¼ ,h_N и обозначим через коли-чество значений hÎХ_j. Очевидно, что математическое ожидание равно Np_j, т.е. М [ ] = Np_j.

В качестве меры отклонения всех отNp_j выбирается величина ( 7 )

При достаточно большом N величина хорошо подчиняется закону распределенияс (m - 1) степенью свободы:

P {< }, ( 8 )

где - плотность распределения с ( m - 1) степенью свободы.

С помощью формулы ( 8 ) при заданном уровне значимости b ( обычно b = 0.95 ) можно определить нижнюю и верхнюю границы области возможного принятия гипотезы ( доверительного интервала ). Для этого нужно ре-шить соответственно следующие уравнения:

P {> } ==b, ( 9 )

P {> } == g, ( 10 )

где g = 1 - b, r = m - 1.

В приложении А имеется таблица, в которой приведены решения уравнения

P {> х } = p,

где х =или х =, p = b или p = g.