18.Дифференциальные биномы.
В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется интегралвида
где m, n, p, a, b — действительные числа.
Выразимость в элементарных функциях
Дифференциальный бином выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:
—
целое
число;
—
целое
число;
—
целое
число.
[Править]Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией
Дифференциальный бином выражается через неполную бета-функцию:
где 
,
а также через гипергеометрическую
функцию:
19.Интегрирование тригонометрических функций.
1°. Интегралы вида
находятся с помощью тригонометрических формул
2°. Интегралы вида
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени
Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
Примеры.
3°.
Если m = -,
n = - -
целые отрицательные числа одинаковой
четности, то
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
Примеры. 
4°.
Интегралы вида
где
R - рациональная функция от sinx и cosx,
приводятся к интегралам от рациональных
функций новой переменной с помощью
подстановки
при
этом
Если
R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно
применить подстановку tgx = t. при этом
Примеры.
Здесь
подынтегральная функция является
рациональной функцией от sinx и cosx.
Применяем подстановку
Подынтегральная
функция не меняется от замены sinx на
(-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) =
R(sinx,cosx) . Применим подстановку tgx = t:
20.Определённый интеграл.
Определение и свойства.
S – область – криволинейная трапеция.
Интегральная
сумма:
Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.
Т. “О существовании определенного интеграла”.
Если f(x) – непрерывна на отрезке (a,b), то определе нный интеграл существует и не зависит от порядка разбиения и выбора точек.
Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции.
Свойства определенного интеграла:
-
аддитивность.
на 
Основные теоремы интегрального исчисления.
Т.1. “об оценке”:
Пусть
y =f(x) интегрируема на [a ,b] 
Тогда 
Доказательство:
Т.2. “о среднем”
Пусть
y =f(x) интегрируема на [a ,b] Тогда 
-
где 
f(c) – среднее
значение f(x) на [a
,b].
Доказательство:
По
Т.1:
Т.к.
f(x) – непрерывна на [a ,b], то она принимает
все промежуточные значения от m до M.
Следовательно она принимает значение
А. Т.е. существует такая 
Т.3. “о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу”
Пусть
y =f(x) - интегрируема на [a , b]
. Тогда 
Доказательство:
Т.4. “формула Ньютона-Лейбница”
,
где F(x) – первообразная для f(x).
Доказательство:
-
первообразная для f(x) по Т.3. Т.к.
первообразные отличаются на const,
то 
Пусть х=а. F(a)+c=0. c=-F(x). Пусть x=b 
Методы вычисления определенного интеграла.
Замена переменных под знаком определенного интеграла.
Пример:
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пример:
22. Формула Ньютона-Лейбница.
Если
функция f (x) интегрируема
на [a; b],
то для любого 
существует
интеграл
|
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.
Если
функция f интегрируема
на [a; b] и
непрерывна в 
то
функция F (x) дифференцируема
в 
причем
|
Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида
|
где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.
Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:
Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда
|
Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).
Пусть f (x) непрерывна
на [a; b], g (t) имеет
непрерывную производную на [α; β], 
Тогда
если a = g (α), b = g (β),
то справедлива формула
замены переменной в определенном
интеграле:
|
Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
|
