
- •2.Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.
- •3.Формула Тейлора.
- •4.Формула Маклорена.
- •Остаточный член
- •5.Монотонность и экстремумы функции.
- •6.Промежутки выпуклости.7.Точка перегиба.
- •8.Асимптоты графика функции.
- •9.Анализ свойств функции, и её построение.
- •10.Неопределённый интеграл.
- •11. Свойства неопределённого интеграла.
- •12.Методы интегрирования (метод разложения).
- •18.Дифференциальные биномы.
- •Выразимость в элементарных функциях
- •[Править]Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией
- •19.Интегрирование тригонометрических функций.
- •20.Определённый интеграл.
- •22. Формула Ньютона-Лейбница.
- •23.Формула замены переменной (интегрирование подстановкой).
- •24. Интегрирование по частям определённого интеграла.
- •25.Несобственные интегралы. Интеграл от неограниченной функции.
- •27. Интеграл с бесконечными пределами.
- •28.Приложения определенного интеграла.
- •Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.
- •31.Площадь криволинейного сектора и сегмента.
- •33.Объем произвольного тела.
- •34.Объем тела вращения.
- •35.Площадь поверхности вращения
- •36. Механические приложения определённого интеграла (работа сил, статические моменты, центр тяжести).
- •38. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
- •40. Полный дифференциал.
- •41.Производные сложных функций.
- •42. Производная по направлению. Градиент
- •43.Частные производные и дифференциалы высших порядков.
- •44. Дифференцирование неявных функции.
- •45.Замена переменных в дифференциальных выражениях
- •46. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •47. Экстремумы функции нескольких переменных.
- •48.Абсолютный экстремум
- •49. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •50. Геометрические приложения (Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой, к поверхности заданной явно, к поверхности заданной неявно).
- •51. Двойные интегралы.
- •52.Свойства двойных интегралов.
- •53.Теорема о среднем значении. Сведение двойных интегралов к повторным.
- •54. Замена переменных в двойных интегралах.
- •55. Тройные интегралы.56.Сведение к повторным.57.Замена переменных
- •58. Интегрирование непрерывной функции по неограниченной области.
- •66. Формула Грина и её применение.
- •69. Формула Стокса. Формула Остроградского.
53.Теорема о среднем значении. Сведение двойных интегралов к повторным.
Теорема о среднем, значении Если функция f(x; у) непрерывна на области Р, то существует такая точка (а; b) Р , что
где
Sp -
площадь области Р.
Сведение
двойных интегралов к повторным
Теорема
1. Пусть Р - плоская область, ограниченная
графиками непрерывных функций g(x) и
h(x), таких что g(x)
h(x),
х
[а;
b], и, быть может, отрезками прямых х = а
и x = b. Если функция f(x; у) непрерывна в
области Р, то
Интеграл, стоящий в правой части формулы, называется повторным интегралом и записывается в виде
Отметим, что если плоская область Р ограничена графиками непрерывных функций g(y) и h(y), таких что g(y) h(y), у [с; d], и, быть может, отрезками прямых у = с и у = d, то порядок интегрирования может быть иным
Замечание. Расчет
двойных интегралов приводит к необходимости
вычисления выражений
,
в которых интегрирование ведется по
переменной у, а переменная х при этом
играет роль константы (как, впрочем, и
любое выражение р(х), зависящее только
от х).
Пусть
тогда
Аналогичным образом осуществляется интегрировала ние выражений вида
54. Замена переменных в двойных интегралах.
При
вычислении интегралов часто бывает
удобно сделать замену переменных
,
где
-
непрерывны в некоторой области
.
Впоследствии мы будем часто писать
просто
вместо
и
т.п. и, кроме того, говорить при выполнении
вышеупомянутых условий, что
и
-
непрерывно дифференцируемые в
функции.
Пусть
при этом формулы
задают
взаимно-однозначное отображение
областей:
.
Кроме того, не стремясь к минимальности
условий, потребуем, чтобы всюду на
области
не
равнялся 0.
Теорема
1.При
сформулированных выше условиях для
непрерывной на D функции
справедливо
.
Пример 6
Используя
необходимую замену переменных, найти
объем, ограниченный сверху
,
снизу - осью Оx, на параллелограмме с
вершинами (0,0), (1,1), (2,0), and (1,-1)
Решение
Найдем уравнения четырех прямых, составляющих параллелограмм
или
Область задана следующими неравенствами:
и
.
Произведем замену переменных:
,
Матрица Якобиана:
.
Область задана неравенствами:
и
,
а
функция
уравнением
.
Получаем двойной интеграл:
.
55. Тройные интегралы.56.Сведение к повторным.57.Замена переменных
Тройные интегралыПринципиальное отличие тройных интегралов от двойных состоит в том, что теперь появляется еще одна (третья) переменная интегрирования. Во всем остальном они схожи. Как и в случае двойных интегралов, основными методами вычисления тройных интегралов является сведение их к повторным и замена переменных в подынтегральных выражениях.
58. Интегрирование непрерывной функции по неограниченной области.
66. Формула Грина и её применение.
Т:
Предположим, что
является
правильной областью, которая ограничена
гладкой кривой
.
В
функции
непрерывны
вместе с частными производными
В
этом случае имеет место формула Грина:
следует
также отметить, что в положительном
направлении обходится кривая
.
Обратимся
к выражению
.
Допустим, что
является
уравнением кривой
,
а
есть
уравнение кривой
,
(рис.
26.4). Следовательно
Произведя
подобную операцию по отношению к
кривым
получим
В результате вычитания предыдущего равенства из вышеобозначенного, составляется формула Грина.
Рис.
26.4
Замечание. При условии, что область - неправильная, формулу можно назвать справедливой, поскольку подается делению на правильные элементы, а также представляется возможным использование формулы Грина к каждому из них, при этом применяются свойства 3⁰ для двойных интегралов и криволинейных интегралов II рода.