Абрамов С.А., Гнездилова Г.Г., Капустина Е.Н., Селюн М.И. Задачи по программированию [pdf]
.pdfа) x3 – 6x2 + 12x + 5 = 0; б) x6 + x2 – 2 = 0;
в) x3 + 3x + 2 = 0;
г) x + 1 = cos (0.5x); д) 3x2 – cos 2x – 1 = 0; е) 2ln x – 1/x + 0.5 = 0;
ж) x4 – 6x3 + 9x2 – 16 = 0.
734. Найти с точностью 0.00001 наименьший корень уравнения:
а) x3 – 6x2 + 19.8 = 0;
б) x4 + x3 – 10x2 – 34x – 25 = 0; в) x3 – 1.75x + 0.75 = 0;
г) x5 +5x4 – 2x3 – 4x2 + 7x – 3 = 0; д) 3x – sin x = 7;
е) x8 – 0.4x3 – 1.24 = 0; ж) x = cos x +1;
з) e-x = 0.5 + x ;
и) x4 + 39x3 + 958x2 – 1081x – 1987 = 0.
Использовать какой-нибудь подходящий численный метод решения уравнений. Для получения отрезка, содержащего наименьший корень уравнения f(x) = 0, или для получения начального приближения
кэтому корню исследовать график функции y = f(x).
735.Вернуться к предыдущей задаче, рассматривая вместо наименьшего корня:
а) наибольший; б) наименьший отрицательный;
в) наибольший положительный; г) второй по величине; д) наименьший по модулю.
736.Найти с точностью 0.0001 все корни уравнения 1/x = sin x, принадлежащего отрезку [ − π ,π ].
737. Для каждого целого числа n из диапазона от 1 до 50 найти подходящим методом с точностью 1/n2 наибольший корень уравнения
x3 |
|
|
2 |
2 |
|
− |
3x |
|
+ 1 = 0 (этот корень, как нетрудно показать, меньше, чем 3n ). |
n2 |
|
Получить графическое изображение зависимости значения наибольшего корня от n.
738. Иногда функция y = f(x) задается на некотором отрезке с помощью уравнения вида F(x, y) = 0. Вычислить значения функции, заданной уравнением:
а) y3 + x3 – 2xy = 0 для x = 0, –0.1, –0.2, ..., –1; б) y3 + y2 – x2 = 0 для x = 1, 1.1, 1.2, ..., 2.
В первом случае функция определена и неотрицательна на отрезке [–1, 0], ее значения на этом отрезке меньше, чем 1; во втором случае функция определена и отрицательна на отрезке [1, 2], ее значения на этом отрезке меньше, чем 1.5. Для нахождения значений y
использовать подходящий численный метод решения уравнений. Вычисление проводить с точностью 0.0001.
739. Написать программу решения по методу Гаусса системы линейных уравнений
a11x1 + ... + a1nxn = b1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x1 + ... + annxn = bn.
Квадратная матрица [aij] i,j = 1, ..., n и вектор b1, ..., bn - исходные данные задачи (предполагается, что система совместна и имеет единственное решение).
Применить программу для решения следующих систем:
а) 10x1 + x2 + x3 |
= |
12, |
2x1 + 10x2 + x3 |
= |
13, |
2x1+ 2x2 + 10x3 |
= |
14; |
б) |
4x1 + |
0.24x2 |
− |
0.08x3 |
= |
8, |
|
||||||
|
0.09x1 + |
3x2 |
− |
0.15x3 |
= |
9, |
|
||||||
|
0.04x1 − |
0.08x2 + |
4x3 |
= 20; |
|
||||||||
в) |
|
6x1 − |
x2 |
− x3 |
= |
|
11.33, |
|
|
||||
|
− |
x1 + |
6x2 |
− |
x3 |
= |
|
|
32, |
|
|
||
|
− |
x1 − |
x2 |
+ |
6x3 |
= |
|
|
42; |
|
|
||
г) |
|
3x1 − |
x2 |
|
= |
|
|
5, |
|
|
|||
|
− 2x1 + x2 − x3 |
= |
|
|
0, |
|
|
||||||
|
2x1 − x2 + 4x3 |
= |
|
15; |
|
|
|||||||
д) |
0.427x1 |
+ |
|
3.210x2 |
− 1.307x3 |
= |
2.425, |
||||||
|
4.270x1 |
− |
0.513x2 |
+ |
1.102x3 |
= |
− 0.176, |
||||||
|
0.012x1 |
+ |
|
1.273x2 |
− |
4.175x3 |
= |
1.423; |
е) |
10x1 − x2 |
+ 2x3 − 3x4 |
= |
0, |
|
|
x1 − 10x2 − x3 + 2x4 |
= |
0, |
||
|
2x1 + 3x2 |
+ |
20x3 − x4 |
= |
− 10, |
|
3x1 + 2x2 |
+ |
x3 + 20x4 |
= |
15; |
ж) |
2x1 + 3x2 − 4x3 + x4 − 3.1 |
= |
0, |
|
0.1x1 − 2x2 − 5x3 + x4 − 2 |
= |
0, |
|
0.15x1 − 3x2 + x3 − 4x4 − 1 |
= |
0, |
|
10x1 + 2x2 − x3 + 2.1x4 + 4.7 |
= |
0; |
з) |
3x1 + 1.5x2 − |
x3 + |
2.4x4 |
= |
6, |
|
|
− 0.5x1 + x2 |
− |
3.1x3 − 4x4 |
= |
− 12, |
|
|
2x1 − 0.8x2 |
− |
4x4 |
|
= |
1, |
|
x1 − 1.3x2 + |
3.9x3 |
− 3.7x4 |
= |
3.1; |
и) |
4.13x1 − |
2.87x2 |
− 1.94x3 + |
0.61x4 |
= |
0.32, |
|
|
1.27x1 + |
7.23x2 |
− 0.15x3 + 1.71x4 |
= |
− 4.16, |
||
|
0.19x1 + |
2.75x2 |
+ |
3.14x3 − |
0.76x4 |
= |
2.33, |
|
2.87x1 + |
4.33x2 |
− |
2.41x3 − |
3.42x4 |
= |
2.79; |
к) |
x1 + 3x2 |
− 2x3 − 2x5 |
= |
0.5, |
|||||
|
3x1 + |
4x2 |
− |
5x3 + x4 − |
3x5 |
= |
5.4, |
||
|
− 2x1 − 5x2 |
+ 3x3 − 2x4 + 2x5 |
= |
5, |
|||||
|
x2 |
− 2x3 + 5x4 + 3x5 |
= |
7.5, |
|||||
|
− 2x1 − |
3x2 |
+ |
2x3 + 3x4 |
+ 4x5 |
= |
3.3; |
||
л) |
7.9x1 |
+ |
5.6x2 + |
5.7x3 − 7.2x4 |
= |
6.68, |
|||
|
8.5x1 − |
4.8x2 |
+ |
0.5x3 + |
3.5x4 |
= |
9.95, |
||
|
4.3x1 |
+ |
4.2x2 |
− |
3.2x3 + |
9.3x4 |
= |
8.6, |
|
|
3.2x1 |
− |
1.4x2 |
− |
8.9x3 + |
8.3x4 |
= |
1; |
м) |
10.2x1 + |
6.07x2 − 9.1x3 + 50.3 |
= |
0, |
|||
|
9.28x1 |
− |
79.6x2 − |
4.92x3 + |
25.8 |
= |
0, |
|
68.3x1 |
− |
2.71x2 − |
8.14x3 + |
32.6 |
= |
0. |
740. Дано действительное положительное число ε . Методом
итераций решить систему линейных алгебраических уравнений с точностью ε . В данной задаче вычисление с точностью ε означает следующее. Вычисляется последовательность векторов-приближений
x(m) = (x( m) , x( m) |
,...x( m) |
) где n—число неизвестных системы, m=0, 1, 2, ... |
|||||
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
Если для некоторого k выполнено условие |
|||||||
|
|
|
max |
|
xi(k − 1) − xi(k ) |
|
< ε , i=1, 2, ... , n, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|
то вектор x(k ) = (x1(k ) , x2(k ) ,..., xn(k ) ) считается решением системы с точностью ε :
а)
б)
в)
г)
x1 |
= |
2 − |
0.06x2 + |
0.02x3 , |
|
|
|||||||
x2 |
= |
3 |
− |
0.03x1 + |
0.05x3 , |
|
|
||||||
x3 |
= |
5 |
− 0.01x1 + 0.02x2 ; |
|
|
||||||||
x1 |
= |
1.2 − 0.1x2 − 0.1x3 , |
|
|
|||||||||
x2 |
= |
1.3 − |
0.2x1 − |
0.1x3 , |
|
|
|||||||
x3 |
= |
1.4 − |
0.2x1 − |
0.2x2 ; |
|
|
|||||||
x1 |
= |
0.1x2 |
|
− |
0.2x3 + |
0.3x4 , |
|
|
|||||
x2 |
= |
− |
0.1x1 + |
0.1x3 − |
0.2x4 |
+ |
0.5, |
||||||
x3 |
= |
− |
0.1x1 − |
0.15x2 |
+ 0.05x4 |
− 0.5, |
|||||||
x4 |
= |
− |
0.15x1 − 0.1x2 |
− 0.005x3 + 0.75; |
|||||||||
x1 |
= |
− |
0.2x2 |
+ |
0.1x3 − |
0.2x4 − 0.4, |
|||||||
x2 |
= |
0.2x1 |
− |
0.2x3 + |
0.2, |
|
|
||||||
x3 |
= |
0.2x1 |
− |
0.4x2 + |
0.2x4 − |
0.4, |
|||||||
x4 |
= |
0.333x1 − |
1.111; |
|
|
|
д) |
x1 |
= |
0.12x1 |
− |
0.18x2 |
+ |
0.08x3 |
− |
0.64, |
|
x2 |
= |
0.15x1 |
+ |
0.06x2 |
− |
0.11x3 + |
0.26, |
|
|
x3 |
= |
0.04x1 |
− |
0.1x2 − |
0.09x3 + |
1.34; |
е) |
x1 − 0.1x2 |
+ |
0.2x3 |
|
|
= |
0.3, |
||
|
0.1x1 + |
x2 |
− |
0.1x3 − 0.1x4 |
|
= |
− 0.2, |
||
|
− 0.1x2 |
+ x3 − 0.1x4 |
|
= |
0.1, |
||||
|
− 0.1x2 |
+ |
|
0.1x3 + |
x4 |
|
= |
0.2; |
|
ж) |
5.92x1 − |
1.24x2 − |
1.84x3 |
= |
|
2.44, |
|||
|
2.72x1 − |
9.71x2 + |
2.43x3 |
= |
|
2.4, |
|||
|
1.76x1 − |
|
3.12x2 + |
9.38x3 |
= |
|
1.93. |
741. Вычислить интегралы по формулам численного интегрирования и по формуле Ньютона-Лейбница. Сравнить результаты: