Абрамов С.А., Гнездилова Г.Г., Капустина Е.Н., Селюн М.И. Задачи по программированию [pdf]

хотя и в неупорядоченном виде. Основываясь на этом, выполнить следующие задания:

а) В массиве a1,…, a2m+1 найти (m+1)-й по величине элемент (это так называемая медиана массива a1, …, a2m+1) и группу элементов с первыми m значениями.

б) Вновь решить задачу 170, положив для этого k = 4.

641. Алгоритм сортировки обменами (см. алгоритм б) в задаче 628) также имеет свои достоинства. Рассмотрим следующий пример. Пусть слова, которые можно выделить в массиве символов a1, …, an (см. задачу 269), требуется переставить в лексикографическом порядке. Так как разные слова могут иметь разную длину, то без больших затруднений можно менять местами только слова, стоящие рядом. Но алгоритм сортировки обменами и предписывает только такие обмены. Эта задача не является, конечно, задачей сортировки массива, но тем не менее алгоритм сортировки обменами оказывается здесь полезным.

Написать программу, предполагая, что длина слова не превосходит пятнадцати.

642.Алгоритм б), сформулированный в задаче 628, – это, строго говоря, лишь один из алгоритмов сортировки обменами. Он иногда называется алгоритмом пузырька. Есть и другие алгоритмы, которые естественно отнести к алгоритмам сортировки обменами. Приведём пример такого алгоритма. Последовательным просмотром чисел a1, …, an найти наименьшее i такое, что ai > ai+1. Поменять местами ai и ai+1 местами и возобновить просмотр с начала массива. Когда не удастся найти такое i, массив будет упорядочен нужным образом. Написать программу, реализующую этот алгоритм.

643.Рассмотреть все алгоритмы сортировки, сформулированные в этом параграфе, и указать достоинства и недостатки каждого из них. Необходимо помнить, что в случае небольших массивов те алгоритмы, которые сформулированы в задаче

628, дают вполне удовлетворительное решение задачи. При больших n требуется тщательно изучить все особенности конкретной ситуации и, исходя из этого, подобрать алгоритм. Задачи сортировки массивов возникают не только в связи с числовыми массивами. Тип элемента может быть довольно сложным, и надо учитывать, во что обходится сравнение и перемещение элементов в том или ином случае.

644.Даны пять попарно различных целых чисел a, b, c, d, e. Упорядочить их по возрастанию, используя для этого не более семи сравнений.

645.Даны действительные числа a1, …, an. Получить попарно

различные целые j1, …, jn такие, что l ≤ jk ≤ n, k =1, …, n и aj1 ≥ aj2 ≥ … ≥

aj n.

646. Даны натуральное число n, целые числа a1, ..., an. Найти наибольшее значение, встречающееся в последовательности a1, …, an, после выбрасывания из неё

а) одного из членов со значением max(a1, …, an); б) всех членов со значением max(a1, …, an) – здесь

предполагается, что не все числа a1, …, an равны между собой.

647. Даны натуральное число n, действительные числа a1, …, an. Требуется найти max(a1, …, an) и min(a1, …, an). Рассмотрим два алгоритма решения этой задачи. Первый алгоритм. Шаг за шагом получать пары max(a1,…,ai ), min(a1, …, ai ) (i = 1, …, n). При этом,

чтобы получить max(a1, …, ai+1), min(a1, …, ai+1) сравнивается ai+1 c max(a1, …, ai), а затем, если ai+1 < max(a1, …, ai), дополнительно сравнивается ai+1 с min(a1, …, ai). Второй алгоритм. Пусть n – чётное число, т.е. n = 2k. Тогда шаг за шагом получать max(a1, …, a2l), min(a1, …, a2l) (l = 1, …, k). При этом, чтобы получить max(a1, …, a2l+2), min(a1, …, a2l+2), вначале сравниваются между собой a2l+1, a2l+2 и max(a2l+1, a2l+2) сравнивается с max(a1, …, a2l), а min(a2l+1, a2l+2) – c min(a1, …, a2l).

Если n – нечетное число, то потребуется еще дополнительный шаг:

сравнение последнего элемента an с max(a1,…, an-1) и, возможно, с min(a1 , …, an-1).

Сколько сравнений в худшем случае потребует первый алгоритм и сколько - второй? Написать программу реализующую второй алгоритм. (Заметим, что второй алгоритм даёт ещё одно решение задачи 230).

648. Даны натуральные числа a1, …, an. Пусть a1, …, an – перестановка чисел 1, …, n. Получить натуральные r1, …, rn такие, что

rai = i для i =1, …, n.

649. Решить задачи 646, 647, предполагая, что числа a1, …, an являются компонентами данного файла. При этом значение n неизвестно заранее.

650. Число компонент файла f , компонентами которого являются целые числа, кратно десяти. Переписать компоненты файла f в файл g, изменяя порядок чисел в каждой десятке так, чтобы

а) вначале шли отрицательные числа десятки, а за ними – неотрицательные;

б) вначале шли числа, делящиеся на 3, затем числа, дающие при делении на 3 остаток 1, затем числа, дающие при делении на 3 остаток

2.

Порядок самих десяток должен быть сохранён.

651. Рассматриваются слова (см. задачу 269), содержащиеся в символьных файлах f1 и f2. Известно, что число символов в словах не превосходит шестнадцати. Известно, что слова в файле f1 идут в лексикографическом порядке и их число равно пятидесяти. Выяснить, сколько раз каждое из слов файла f2 встречается в файле f1. Для

решения задачи переписать слова, содержащиеся в файле f2, в массив и последовательно применять метод деления пополам (см. задачу 631).

652.Пусть файлы c и d с компонентами, являющимися действительными или целыми числами, упорядочены по невозрастанию компонент. Требуется собрать компоненты файлов c и d в упорядоченном виде в файле f (см. задачу 635). Количество сравнений не должно превосходить p + q, где p и q – число компонент

вфайлах c и d.

653.Пусть a и b – файлы, k – натуральное число. Будем говорить, что файлы a и b согласованно k-упорядочены, если

1) в каждом из файлов a и b первые k компонент, следующие за ними k компонент и т.д. образуют упорядоченные группы; последняя группа файла (тоже упорядоченная) может быть неполной, т.е.

содержать менее k компонент, но при этом только один из файлов a и b может иметь неполную последнюю группу;

2)число упорядоченных групп файла a отличается от числа упорядоченных групп файла b не более чем на единицу;

3)если в одном файле число упорядоченных групп меньше на единицу, чем в другом, то неполной может быть только последняя группа более длинного файла.

Компоненты двух согласованно k - упорядоченных файлов a и b можно разместить в файлах g и h так, что g и h будут согласованно 2k- упорядочены. Это делается с помощью описанных в предыдущей задаче слияний; при этом результаты слияний попеременно размещаются то в файле g, то в файле h. Рис. 35 демонстрирует происходящее при первых двух слияниях. Файлы представлены в виде отрезков, части которых изображают упорядоченные группы с указанным числом компонент.

Завершить описание этого алгоритма, рассмотрев его заключительную стадию. Доказать, что файлы g и h действительно

будут согласованно 2k-упорядочены. Реализовать этот алгоритм в виде программы.

654. Для сортировки файла g может быть применен следующий алгоритм. Пусть h, a, b - вспомогательные файлы. Прежде всего, компоненты файла g распределяются по файлам a, b: компоненты с четными номерами попадают в файл а, а компоненты с нечетными

номерами – в b. Эти компоненты рассматриваются как упорядоченные группы, по одной компоненте в каждой, а файлы a, b – как согласованно 1- упорядоченные (см. предыдущую задачу). Затем с помощью алгоритма, описанного в предыдущей задаче, файлы g и h превращаются в согласованно 2-упорядоченные и т.д. Так как число упорядоченных групп убывает с каждым применением предложенного в предыдущей задаче алгоритма, то настанет момент, когда все компоненты соберутся в некотором файле в виде упорядоченной группы; на этом упорядочение будет закончено.

Этот алгоритм очень похож на алгоритм фон Неймана, для массивов (см. задачу 636) и тоже относится к алгоритмам сортировки слияниями.

Реализовать этот алгоритм в виде программы.

655. Пусть файлы a и b, компоненты которых являются целыми числами, упорядочены по неубыванию. Получить в файле c все числа