Абрамов С.А., Гнездилова Г.Г., Капустина Е.Н., Селюн М.И. Задачи по программированию [pdf]

треугольной матрице (см. задачу 716). Кроме этой последовательности дан вектор b с n элементами. Найти вектор Аb.

719. Симметричные квадратные матрицы А и В порядка n заданы последовательностями из n(n + 1) / 2 чисел, аналогично правым треугольным матрицам (см. задачу 716). Получить в аналогичном виде:

а) матрицу АВ;

б) матрицу A2 − B2 .

§ 22. Численные методы *)

*) С численными методами, рассматриваемыми в задачах этого раздела, можно ознакомиться в [10].

720.Даны действительные числа x1 ,K, xn , y1 ,K, yn , t1 ,K, tm

(x1 < x2 < K< xn , x1 ≤ ti ≤ xn , i = 1,K, m) . Число y представляет собой значение некоторой функции f от аргумента; y j = f (x j )

( j = 1,K, n) . С помощью линейной интерполяции получить значения f(t1), f(t2), …, f(tт).

721. Даны действительные числа h, x1, …, xn, y1, …, yn. Все сказанное о x1, …, xn, y1, …, yn в предыдущей задаче остается в силе. С помощью линейной интерполяции получить значения функции f для значений аргументов, равных x1, x1+h, x1+2h, ..., x1+kh, где k - наибольшее целое, для которого x1+ kh ≤ xn.

722.Даны натуральное число n, действительные числа x1, ..., xn, y1, ..., yn. Рассмотреть предыдущую задачу, считая, что h = (xn – x1)/n (ответом должна служить последовательность, содержащая n+1 число).

723.Даны действительные числа x1, ..., xn, y1, ..., yn, t (x1<x2<

...<xn , y1 ≤ t ≤ yn). Предполагается, что y1, ...,yn представляют собой результаты измерения температуры воздуха в моменты времени x1, ..., xn. С помощью линейной интерполяции указать все моменты времени,

вкоторые температура воздуха была равна t (не исключен случай

yj=yj+1=t для некоторых j (1 ≤ j ≤ n – 1)).

724. Вернуться к задачам 721, 723, считая, что разности между соседними известными значениями аргумента x1, ..., xn равны между собой: xn – xn-1= xn-1 – xn-2 = ... = x2 – x1= h. Вместо x1, ..., xn задаются x1 и h, порядок остальных исходных данных не изменяется.

725. Дано действительное положительное число ε . Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения f(x) = 0. Абсолютная погрешность найденного значения не должна превосходить ε . (Ниже, рядом с уравнением f(x) = 0, дополнительно указан отрезок , содержащий корень.)

следом за уравнением f(x) = 0, дополнительно задан отрезок, содержащий корень):

*) Когда заходит речь о «вычислении с точностью ε », следует иметь в виду, что лишь немногие численные методы, основанные на построении последовательных приближений x0, x1, ... к искомому числу x, гарантируют, подобно методу деления отрезка пополам, что абсолютная погрешность найденного значения будет меньше ε . Будем

предполагается, что в программе будет реализован именно этот подход

коценке точности.

727.Вернуться к предыдущей задаче, считая, что построение приближений к корню уравнения f(x) = 0 следует закончить, когда

будет получено такое приближение x , для которого f (x) < ε . (Этот

подход к оценке точности может быть приемлемым только в тех

случаях, когда известно, что f (x) не принимает значений меньшеε

при значениях x, удаленных от корня уравнения f(x) = 0; рис.41, а, б.) 728. В уравнениях, приведенных в задачах 725, 726, вычислить

корень, находящийся в заданном отрезке (отрезок следует за уравнением), методом деления отрезка пополам и методом хорд с одной и той же точностью ε . Сравнить количество шагов, которые нужно сделать для получения корня этими методами.

729. Дано действительное положительное ε . Методом касательных вычислить с точностью ε (см. замечание к № 726) корень уравнения f(x) = 0 (ниже, следом за уравнением f(x) = 0, в скобках указано начальное приближение к корню):

а) x3 – 2x2 + x – 3 = 0, (2.2); б) tg x – x = 0, (4.67);

в) 1.8 x4 – sin 10x = 0, (0.22);

г) x4 – 3x2 + 75x – 10000 = 0, (–11); д) x3 – 6x2 + 20 = 0, (2.31).

730. Решить методом касательных перечисленные в предыдущей задаче уравнения, прекращая построение приближений к корню уравнения f(x) = 0 в тот момент, когда будет получено такое приближение x , для которого f (x) < 0.00001.

731. Дано действительное положительное число ε . Методом итераций вычислить с точностью ε (см. замечание к № 726) корень уравнения f(x) = 0 (ниже, следом за уравнением f(x) = 0, в скобках указано начальное приближение к корню):

б) 2x3 + 4x – 1 = 0, (0.11); в) x3 + 12x – 2 = 0, (0.95); г) 5x – 8 ln x = 8, (4.32);

д) x3 + x = 1000, (9.42); е) x – sin x = 0.25, (1.17);

ж) x3 – 6x2 + 20 = 0, (2.25);

з) 5x3 + 10 x2 + 5x – 1 = 0, (0.6).

732. Сравнить методы деления отрезка пополам, хорд, касательных и итераций, поочередно используя их для решения одного и того же уравнения. Независимо от метода построение приближений к корню уравнения f(x) = 0 следует заканчивать, как только будет получено такое приближение x , для которого f (x) <ε . Значениеε

следует поочередно брать равным 0.01, 0.001, ..., 0.0000001. Для каждого из методов построить график или столбчатую диаграмму изменения числа потребовавшихся приближений при переходе от одного значенияε к другому. В качестве уравнения, на котором

проводится сравнение методов, и отрезка, которому принадлежит корень, следует взять:

а) x3 + x2 – 3 = 0, [0.6, 1.4]; б) x5 – x – 0.2 = 0, [0.9, 1.1]; в) 5x3 – x – 1 = 0, [0.6, 0.8]; г) x3 – 2x – 5 = 0, [1.9, 2.93]; д) x3 + x = 1000, [9.1, 10]; е) x4 + 2x3 – x – 1 = 0, [0, 1].

Для метода касательных и итераций в качестве начального приближения выбирается подходящий конец отрезка.

733. Дано действительное положительное число ε . Найти с помощью подходящих методов все корни уравнения f(x) = 0 с точностью ε . Для получения отрезков, содержащих по одному корню уравнения f(x), или для получения начальных приближений к корням исследовать график функции y = f(x). В качестве f(x) рассмотреть: