15. Нормальное распределение, функция Лапласа. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило 3-х сигма.

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением  —распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения: где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Для нормального распределения F(x) = 0,5 + Φ(x),

где Φ(x) = 12π*0хе-42*du, F(x)-функция распределения, Φ(x)-ф-ция Лопласа.

Вероятность того, что нормально распределенная случ. величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β) равна:

, где α-МО, β - среднеквадр. отклонение данной величины.

Правило 3х сигма: Пусть Х~N(а; )

Р(х-а>3 )≅0,0027 =

Рх-а3>1=2(0,5-Φ3)

Правило 3х сигма разрешает заменить бесконечный интервал (-∞;+∞) на конечный

(а-3 ;а+3 )

16. Числовые характеристики случайных величин, их вычисление. Содержательный смысл и свойства математического ожидания и дисперсии.

1. МО дискретной СВ наз. сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. М(Х) = х₁р₁ +…+ х_пр_п =i=1nх_i*pi

МО приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Полностью не характеризует СВ.

Центральным моментом k-го порядка (k>1) СВ Х наз μ _k = ∑ⁿ_i=1 (xi – MX)^k pi , (μ ₁ =0)

Моментом k-го порядка СВ Х наз m_k = ∑ⁿ_i=1 (xi)^kpi , (m₁=MX)

2. Введем понятие отклонения СВ от ее МО: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее МО.

Для того, что бы оценить, как рассеяны возможные значения СВ вокруг ее МО, пользуются дисперсией. Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ наз. МО квадрата отклонения случайной величины от её МО.

D(X) = M[X-M(X)]² => Для того чтобы найти дисперсию достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности: i=1nх_i-МХ² * рi

т.е. (х₁ – МХ)² * р₁ +…+ (х_п – МХ)² * р_п

Смысл дисперсии: это положит. мера, которая характеризует близость расположения значения СВ относительно МО этой СВ.

3. Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: (Х) = √D(X) (сигма)

Свойства математического ожидания:

1) М ( с · Х ) = с · М ( Х ) ,   c   R (постоянный множитель можно выносить за знак МО)

Док-во. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X : x₁ x₂ . . . xn

P: p₁ p₂ . . . pn

Напишем закон распределения случайной величины CX: CX: Cx1 Cx2 . . . Cxn

P: p1 p2 . . . pn

Математическое ожидание случайной величины CX: M[CX] = Cx1p1 + Cx2p2 + . . . + Cxnpn = C(x1p1 + x2p2 + . . . + xnpn) = CM[X]

2)   М ( Х + Y ) = М ( Х ) + М ( Y ) ,     Х , Y   Е , (МО суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых)

3)   М ( Х · Y ) = М ( Х ) · М ( Y )  для независимых случайных величин  Х  и  Y . 

(МО произведения двух независимых случайных величин равно произведению их МО)

Док-во. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения X: x1 x2 Y: y₁ y₂

P: p1 p2 , p: g₁ g₂

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY . Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y ; в итоге получим x1y1, x2y1, x1y2 и x2y2. Напишем закон распределения XY , предполагая, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично): XY: x1y1 x2y1 x1y2 x2y2

P: p1g1 p2g1 p1g2 p2g2

МО равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

M[XY ] = x1y1 · p1g1 + x2y1 · p2g1 + x1y2 · p1g2 + x2y2 · p2g2.

Или M[XY ] = y1g1(x1p1 + x2p2) + y2g2(x1p1 + x2p2)

(x1p1 + x2p2)(y1g1 + y2g2) = M[X]M[Y ]

Свойства дисперсии:

   1)   D ( с · Х ) = с ² · D ( Х ) ,   c   R ,   

   2)   D ( Х + Y ) = D ( Х ) + D ( Y ) для независимых случайных величин  Х  и  Y .