Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ter_ver_i_MS.doc
Скачиваний:
57
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
7.6 Mб
Скачать

17. Свойства математического ожидания одной и нескольких случайных величин.

1. M(c)=c, M(c)= ∫ba c*p(x)dx= c∫ba p(x)dx=c, c-const

2. M(c*X)=cMX

Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X x1 x2 . . . xn

p p1 p2 . . . pn Учитывая свойство 1, напишем закон распределения случайной вели-

чины CX: CX Cx1 Cx2 . . . Cxn

p : p1 p2 . . . pn

МО случайной величины CX: M[CX] = Cx1p1 + Cx2p2 + . . . + Cxnpn =

= C(x1p1 + x2p2 + . . . + xnpn) = CM[X].

3. M[X + Y ] = M[X] + M[Y ] МО суммы двух случайных величин равно сумме МО слагаемых

Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения X: x1 x2 Y: y1 y2

P: p1 p2 p: g1 g2

Составим все возможные значения величины X + Y . Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение Y ; получим x1 + y1, x1 + y2, x2 + y1, x2 + y2. Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p11, p12, p21, p22.

МО величины X + Y = сумме произведений возможных значений на их вероятности: M[X + Y ] = (x1 + y1)p11 + (x1 + y2)p12 +(x2 + y1)p21 + (x2 + y2)p22

или

M[X + Y ] = x1(p11 + p12) + x2(p21 + p22) +y1(p11 + p21) + y2(p12 + p22).

Докажем, что p11 + p12 = p1. Событие, состоящее в том, что X примет

значение x1, (вероятность этого события равна p1) влечет за собой

событие, которое состоит в том, что X + Y примет значение x1 + y1

или x1 + y2 (вероятность этого события по теореме сложения равна

p11 + p12 = p1, и обратно. Отсюда и следует,

p21 + p22 = p2, p11 + p21 = g1,

p12 + p22 = g2, Подставляя правые части этих равенств в соотношение для M[X + Y ], Получим M[X + Y ] = (x1p1 + x2p2) + (y1g1 + y2g2) =

= M[X] + M[Y ].

4. M(X-Y)= M(X+(-1)Y)=(по св-ву 3) MX+M[(-1)Y]=(по св-ву 2) MX-MY

5. М ( Х · Y ) = М ( Х ) · М ( Y )  для независимых случайных величин  Х  и  Y . 

(МО произведения двух независимых случайных величин равно произведению их МО)

Док-во. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения X: x1 x2 Y: y1 y2

P: p1 p2 , p: g1 g2

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY . Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y ; в итоге получим x1y1, x2y1, x1y2 и x2y2. Напишем закон распределения XY , предполагая, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично): XY: x1y1 x2y1 x1y2 x2y2

P: p1g1 p2g1 p1g2 p2g2

МО равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

M[XY ] = x1y1 · p1g1 + x2y1 · p2g1 + x1y2 · p1g2 + x2y2 · p2g2.

Или M[XY ] = y1g1(x1p1 + x2p2) + y2g2(x1p1 + x2p2)

(x1p1 + x2p2)(y1g1 + y2g2) = M[X]M[Y ]

18. Свойства дисперсии одной и нескольких случайных величин.

1. D(c)=0, c-const

Дисперсия постоянной величины C равна нулю; D[C] = 0.

Доказательство. По определению дисперсии,

D[C] = M[[C − M[C]]2] = M[C − C] = M[0] = 0.

2. D(c*X)=c2MX

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

Доказательство. По определению дисперсии,

D[CX] = M[[CX − M[CX]]2] = M[C2[X − M[X]]2] = C2D[X].

3. D(X+Y)=DX+DY(если Х и Y- независимые СВ).

D(3X-3Y)=?, D(3X-3Y)=D(3X+(-2)Y)=9DX+4DY

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[X + Y ] = D[X] + D[Y ]

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D[X + Y ] = M[(X + Y )2] − [M[X + Y ]]2

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D[X + Y ] = M[X2+ 2XY + Y2] − [M[X] + M[Y ]]2= M[X2] + 2M[X]M[Y ] + + M[Y2] − M2[X] − 2M[X]M[Y ] − M2[Y ] =M[X2] − [M[X]]2+M[Y2] − M[Y ]]2= D[X] + D[Y ].

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]