- •1. Детерминированные, неопределенные и случайные события. Понятие статистической однородности. Примеры.
- •2. Определение вероятности – классическое, частотное, теоретико-множественное (аксиоматическое). Иллюстрирующие примеры.
- •3. Операции над событиями. Несовместные и независимые события, условная вероятность. Примеры.
- •4. Теорема о вероятности суммы двух и трех событий (без док-ва, с геометрической иллюстрацией).
- •5. Теорема о вероятности произведения двух событий (без док-ва, для зависимых и незваисимых событий).
- •6. Формула полной вероятности (с док-вом).
- •7. Формула Байеса (с док-вом).
- •8. Схема повторных испытаний. Расчет вероятности хотя бы одного успеха. Формула Бернулли.
- •9. Наивероятнейшее число успехов в серии п испытаний (без вывода).
- •10. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального распределения (без вывода).
- •11. Случайные дискретные величины, их числовые характеристики.
- •12. Функция распределения и плотность вероятности случайных непрерывных величин. Их типовые графики. Расчет ф-ции распределения по плотности вероятности и наоборот.
- •13. Равномерное случайное распределение. Задача о встрече.
- •14. Показательный закон распределения, функция надежности.
- •15. Нормальное распределение, функция Лапласа. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило 3-х сигма.
- •16. Числовые характеристики случайных величин, их вычисление. Содержательный смысл и свойства математического ожидания и дисперсии.
- •17. Свойства математического ожидания одной и нескольких случайных величин.
- •18. Свойства дисперсии одной и нескольких случайных величин.
- •19. Математическое ожидание и дисперсия биномиального и пуассоновского случайных распределений.
- •24. Закон больших чисел (формулировка и применения).
- •25. Объяснить на примерах понятия «генеральная совокупность», «варианта», «выборка», «вариационный ряд». Принципы формирования выборочной совокупности.
- •26. Дискретный и интервальный вариационные ряды. Формула Стёрджеса. Как рассчитать среднюю величину признака интервального вариационного ряда?
- •27. Размах, мода и медиана выборки.
- •28. Полигон и кумулята. Графический способ нахождения моды интервального вариационного ряда.
- •29. Коэффициент концентрации Джини и кривая Лоренца.
- •30. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности. Какая оценка параметра генеральной совокупности называется несмещенной, состоятельной (на примере мо)?
- •31. Построение доверительного интервала по большой выборке для математического ожидания генеральной совокупности при известной дисперсии. Вероятностный смысл заданного параметра надежности.
- •33. Построение доверительного интервала для дисперсии при условии, что признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности.
- •34. Проверка статистических гипотез. Ведущая и конкурирующая гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода. Как влияет на ошибку 2-го рода увеличение доверительной вероятности для ведущей гипотезы?
- •35. Мощность критерия, его вероятностный смысл.
- •36. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. Двусторонний, правосторонний и левосторонний критерии.
- •37. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по выборочным данным.
- •38. Функциональная, статистическая и корреляционная связи. Примеры.
- •39. Коэффициент корреляции. Эмпирическая характеристика тесноты связи между случайными величинами по числовым значениям коэффициента корреляции.
- •40. Метод наименьших квадратов для построения уравнения парной регрессии y на X. Проверка значимости коэффициента корреляции.
3. Операции над событиями. Несовместные и независимые события, условная вероятность. Примеры.
АUВ – объединение множеств (сумма) А+В
А В – пересечение множеств (умножение) А*В
Опр: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в р-те испытания.
Опр: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном наступлении в р-те испытания.
События А и В называются несовместными, если они не могут наступить одновременно.
Например бросаются 2 игральные кости. А – сумма очков, выпавших на верхних гранях кратно 3 (делятся на 3 без остатка). В – сумма очков, выпавших на верхних гранях кратно 5.
Для несовместных событий (A+B) – А или(и) В.
Р(А+В) = Р(А) + Р(В), Р(А*В) = 0, где
События А и В называются независимыми, если Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
1) В карточной калоде 52 карты. Наудачу вынимается 1 карта. Какова вер-ть что это будет пиковая дама? 1/52
1/52= 13/52*4/52=> события А и В независимые.
А – вынута карта масти пик, В – вынута дама.
Условной вероятностью наступления события А, при условии что событие В произошло называется: РВ(А) = ϻes (АВ)/ ϻes В = Р(АВ)/Р(В)
PВ(A) def μes (АВ)/ μesВ = Р(АВ)/Р(В)
Р(А*В) = PВ(A)* Р(В) = PА(В)* Р(А)
Μes В def μes (АВ)/ μesА, при В принадлежит А→
= PА(В) = Р(АВ)/Р(А) => Р(АВ) - Р(АВ)/Р(А).
РВ(А) – пэ А при условии В
2)Задача о разборчивой невесте. п претендентов, входят один за друим в случайном порядке 1≤ к ≤ п, и последний который оказался краше всех. Какова вер-ть что этот избранник действительно самый красивый из п претендентов.
А – из вошедштх к человек самый последний к-ый оказался самый красивый из этих к человек.
В – самый красивый из п оказался самым красивым из к.
РА(В)= Р (А*В)/Р(А) = к/п
4. Теорема о вероятности суммы двух и трех событий (без док-ва, с геометрической иллюстрацией).
Р (А+В) = Р (А) + Р (В) – (А*В) – эта формула выражает теорему сложения вероятностей (сумма 2х событий).
А
а
В
Р (А) def = ϻes А
Ω Р(А) + Р(В) – Р (А*В)
сумма «площадей» фигур А и В
А*В минус, т.к. «площадь» А*В подсчитана дважды
Р (А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р (АВ) – Р (АС) – Р(ВС) + Р(АВС) – эта формула выражает теорему сложения вероятностей ( сумма 3х событий).
С
В
А
Ω
5. Теорема о вероятности произведения двух событий (без док-ва, для зависимых и незваисимых событий).
Опр: Условной вероятностью наступления события А, при условии что событие В произошло называется: РВ(А) def = ϻes (АВ)/ ϻes В = Р(АВ)/Р(В)
РВ(А) – пэ А при условии В => Р(А*В) = РВ(А) * Р(В) = РА(В) * Р(А) – (следствие из орп), формула выражает теорему.
ϻes В def = ϻes (АВ)/ ϻes А
при усл. ВϵА РА(В) = Р(АВ)/Р(А) => Р(АВ) = РА(В) * Р(А)
А
а
В
А*В