6. Формула полной вероятности (с док-вом).

Опр: События В₁, В₂,…, В_п образуют полную систему событий, если:

1) В₁ + В₂ + … + Вп = Ω (т.е. сумма Вi есть достоверное событие)

2) Вi * Вj = Ø i < j = 2,…, п

Пусть А – случайное событие, как-то связанное с системой Вi

Т: вероятность события А, кот. Может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,.., Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р_В1(А) * Р(В₁) + Р_В2(А) * Р(В₂) +…+ Р_Вп(А) * Р(Вп)

Док-во: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В₁, В₂,…, Вп. Др. словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А, В₂А,…, ВпА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим: Р(А) = Р(В₁А)+….+Р(ВпА) – (*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По Т. умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Р(В₁А) = Р_В1(А)* Р(В1);…; Р(ВпА) = Р_Вп(А)* Р(Вп)

Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности.

7. Формула Байеса (с док-вом).

Пусть Вi образуют полную систему событий.

i = 1,…, n

Р(В₁) – a priorn-ая вероятность наступления события В₁

до того

Произошло событие А, как-то связанное с событием В₁, В₂, … , Вп

Р_А(В₁) – a posterior-ая вероятность наступления события В₁

Р_А(В₁) = ?

Р_А(В₁) = Р_В1(А) * Р(В₁) = Р_В1(А) * Р(В₁)____________

Р(А) Р_В1(А) * Р(В₁) + … + Р_Вп(А) * Р(Вп)

по Т. умножения по ф-ле полной

вер-тей вер-ти

Док-во: Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂,…, Вп, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(В₁)Р_В1(А)+…+ Р(Вп)Р_Вп(А) – (*)

Допустим, что произведено испытание, в р-те которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменилась (в связи с тем что, событие А уже наступило) вероятности гипотез. Др. словами, будем искать условные вероятности Р_А(В₁), Р_А(В₂),…, Р_А(Вп). Найдем сначала условную вероятность Р_А(В₁). По Т. умножения имеем Р(АВ₁) = Р(А)Р_А(В₁) = Р(В₁)Р_В1(А). Отсюда Р_А(В₁) = Р_В1(А) * Р(В₁)

Р(А)

Заменив здесь Р(А) по формуле (*), получили Р_А(В₁) =

Р_В1(А) * Р(В₁)____________

Р_В1(А) * Р(В₁) + … + Р_Вп(А) * Р(Вп)

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

8. Схема повторных испытаний. Расчет вероятности хотя бы одного успеха. Формула Бернулли.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Рассматривается опыт с 2-мя случайными исходами («успех», «неуспех»).

Предполагается что: 1⁰ вер-ть наступления успеха = «р» и не зависит от номера испытания. 2⁰ «успех» в отдельном испытании не зависит от предыдущих испытаний.

эти испытания наз. испытаниями Бернулли (бросание монеты, рождение мальчика или девочки)

Ф-ла Бернулли.

Рп(k) = С_n^кр^к(1-р)^п-к = С_n^кр^кq ^п-к

n-число опытов, k-число успехов, наступивших в этих опытах, q = 1-р.

Р_n(k) = [n(n-1)…(n-k+1)]/k! 0≤p,q

Производится «n» испытаний Бернулли. Успех наступает не более, чем k раз:

Р_n(0)+Р_n(1)+…+ Р_n(k-1)+ Р_n(k) Не менее k раз:Р_n(k)+ Р_n(k+1)+…+Р_n(k)

Менее k раз: Р_n(0)+Р_n(1)+…+ Р_n(k-1) Более k раз: Р_n(k+1)+…+Р_n(n)

Док-во: Вер-ть одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит k и не наступит n-k раз, по Т. умножения вероятностей независимых событий равна р^кq ^п-к . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по k элементов, т.е. С_n^к . Так как эти сложные события несовместны, то по Т. сложения вероятностей несовместных событий искомая вер-ть равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вер-ть (появления k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на из число:

Рп(k) = С_n^кр^к(1-р)^п-к = С_n^кр^кq ^п-к или Рп(k) = n!/k!(n-k)! * р^кq ^п-к

Пр: Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка». Решение: Пятикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки») равно 1/6 и вероятностью неудачи — 5/6. Искомую вероятность найдем по формуле