12. Функция распределения и плотность вероятности случайных непрерывных величин. Их типовые графики. Расчет ф-ции распределения по плотности вероятности и наоборот.

Ф-цией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = P(X< x). a < X < b

Св-ва: 1) 0≤ F(x) ≤ 1 2) F(-∞) = 0

3) F (+∞) ≤ 1 4) F(x₂) ≥ F(x_i)

График: График расположен в полосе, ограниченной прямыми у = 0, у = 1. При возрастании х в интервале (а; в), в котором заключены все возможные значения cлучайной величины, график «подымается вверх». При х ≤ а ординаты графика равны еденице.

Плотностью распределения вероятностей непр. Случайной величины Х называют ф-цию p(x) = lim∆x→0Fx+∆x- F(x)∆x = F’(x) p(x) – плотность распределения а < x < b

F(x)=∫^b_a p(u)du, ∫^b_a p(u)du=1-условие нормировки, a<x<b

Св-ва: 1) р(х) ≥ 0 а < x < b

2) авpxdx = 1 площадь заштрих. фигуры = 1

a 0 b x

Зная плотность распределения р(х) можно можно найти ф-цию распределения F(x) по формуле: F(x) = -∞xpxdx. И наоборот, по известной ф-ции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно: р(х) = F’(x)

13. Равномерное случайное распределение. Задача о встрече.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a;b], где а,в ∈ R, если ее плотность f_x(x) имеет вид: Пишут:

Для непрерывного распределения СВ a<X<b, задаются плотность вер-ти p(x) и/или ф-ия распределения F(x).

P(α<X<β)

∫^β_α p(x)dx = F(β) – F(α) = P(α<X<β)

Числовые характеристики равномерного распределения:

МХ= ∫^b_a x* (1/(b-a))dx = (b²-a²) / 2(b-a) = (a+b)/2.

DX= ∫ ^b_a (x – (a+b)/2)² * (1/(b-a)) dx = (b-a)²/12.

Задача о встрече.

Два человека договорились встретиться в определенном месте в ин­тервале от 12 до 13 ч (будем считать от 0 до 1), причем момент прихода каждый выбирает случайно на отрезке [0, 1] и ждет 20 мин (1/3 ч). Какова вероятность события А = {встреча произойдет}?

Решение. Эксперимент мы представляем как бросание 2-х точек на отрезок [0, 1]. Пусть х — момент прихода 1-го, у — момент прихода 2-го. Множество всех исходов Ω={x,y:x,y∈[0,1]}, т.е. квадрат на плоскости. Множество А исходов, благоприятствующих наступлению А, состоит из тех исходов (х, у), для которых

|х—у|≤1/3: A={x,y:|x-y|≤1/3}.

Соответствующая область показана на рисунке. В силу (1):

PA=S(A)S(D)=1-(23)2=59 .

14. Показательный закон распределения, функция надежности.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случ. величины Х, которое описывается плотностью px=0 при &x<0λе -λх &x≥0 где λ – постоянная положительная величина.

Показательное распределение определяется одним параметром λ.

Показательный закон определяется с помощью плотности распределиния или используя ф-цию распределения.

Пр: написать плотность и функцию распределения показательного закона, если 𝝀=8.

Очевидно, искомая плотность распределения: p(x)=8e^-8x при х ≥ 0, р(х)=0 при х < 0.

Искомая ф-ция распределения: F(x)=1-e^-8x при х ≥ 0, F(x)=0 при х < 0.

Ф-цией надежности R(T) называется функция, определяющая вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t: R(T) = e^-𝝀T , Т ≥ 0. R(t) = P(T >t)

R(T₁) - R(T₂) = e^-𝝀T1 - e^-𝝀T2 = (1 - e^-𝝀T2) - (1 - e^-𝝀T1) = F(T₂) – F(T₁) =

= P(T₁ ≤ t ≤ T₂) вероятность технического устройства на промежутке времени T₁ ≤ t ≤ T_2.