9. Наивероятнейшее число успехов в серии п испытаний (без вывода).

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов   (появлений события) имеет вид:

Так как  , то эти границы отличаются на 1. Поэтому  , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда   целое число ( ) , то есть когда  (а отсюда и  ) нецелое число, либо два значения, когда   целое число.

Неравенства для наивероятнейшего числа успехов   позволяют решить и обратную задачу: по данному   и известному значению р определить общее число n всех испытаний.

Х: 0 1 2 … n …

Р: Р_n(0) Р_n(1) Р_n(2) … Р_n(n) …, где

Р_n(i)= Cⁱ_npⁱ(1-p)^n-i, i=0,…,n.

Р_n(i)= Р_n(i+1) – НВЧУ. Найдем ф-лу для k₀:

Р_n(k₀) = max Р_n (k), k=1,…,n.

1. Р_n(k₀-1)≤ Р_n(k₀)

2. Р_n(k₀+1)≤ Р_n(k₀)

НВЧУ k₀:

np-1≤ k₀≤ (n+1)p

(n+1)p-p-1 ≤ k₀≤ (n+1)p

(n+1)p-1 ≤ k₀≤ (n+1)p

np-q ≤ k₀≤ np+p

k₀ - целое число!

10. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального распределения (без вывода).

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины.

Р_k = lim C_n^kp^k (1-p)^n-k = a^k . e^-a

n∞ k! Ф-ла Пуассона

Р_k – вероятность наступления «k» успехов в серии испытаний Бернулли при условиях: 1⁰ р = а/п (а – параметр, п – чило испытаний Бернулли)

2⁰ п  +∞

X: 0 1 2 … п …

Р: е^-а а е^-а а² . е^-а а^п . е^-а

2 п!

∑р_i = е^-а 1 + a + a² + a³ + …+ aⁿ + … = e^-a * e^a = 1

2! 3! n!

e^a

11. Случайные дискретные величины, их числовые характеристики.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Числ. хар-ки: (числа, кот. описывают случайную величину суммарно)

1. МО дискретной СВ наз. сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. М(Х) = х₁р₁ +…+ х_пр_п =i=1nх_i*pi

МО приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Полностью не характеризует СВ.

2. Введем понятие отклонения СВ от ее МО: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее МО.

Для того, что бы оценить, как рассеяны возможные значения СВ вокруг ее МО, пользуются дисперсией. Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ наз. МО квадрата отклонения случайной величины от её МО.

D(X) = M[X-M(X)]² => Для того чтобы найти дисперсию достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности: i=1nх_i-МХ² * рi

т.е. (х₁ – МХ)² * р₁ +…+ (х_п – МХ)² * р_п

Смысл дисперсии: это положит. мера, которая характеризует близость расположения значения СВ относительно МО этой СВ.

3. Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: (Х) = √D(X) (сигма)

Центральным моментом k-го порядка СВ Х называют МО величины (Х – M(X))^k:

m_k = M[(Х – M(X))^k]

Э(Х) эксцесс СВ это Э(Х) = ∑ⁿ_i=1 (x_i – МХ)³p_i. Эксцесс хар-ет симметричность распределения СВ Х относительно МХ. Э(Х)=0-симметрично Э(Х)>0-больше значений Х располагаются правее МХ, Э(Х)<0- левее МХ.