- •1. Детерминированные, неопределенные и случайные события. Понятие статистической однородности. Примеры.
- •2. Определение вероятности – классическое, частотное, теоретико-множественное (аксиоматическое). Иллюстрирующие примеры.
- •3. Операции над событиями. Несовместные и независимые события, условная вероятность. Примеры.
- •4. Теорема о вероятности суммы двух и трех событий (без док-ва, с геометрической иллюстрацией).
- •5. Теорема о вероятности произведения двух событий (без док-ва, для зависимых и незваисимых событий).
- •6. Формула полной вероятности (с док-вом).
- •7. Формула Байеса (с док-вом).
- •8. Схема повторных испытаний. Расчет вероятности хотя бы одного успеха. Формула Бернулли.
- •9. Наивероятнейшее число успехов в серии п испытаний (без вывода).
- •10. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального распределения (без вывода).
- •11. Случайные дискретные величины, их числовые характеристики.
- •12. Функция распределения и плотность вероятности случайных непрерывных величин. Их типовые графики. Расчет ф-ции распределения по плотности вероятности и наоборот.
- •13. Равномерное случайное распределение. Задача о встрече.
- •14. Показательный закон распределения, функция надежности.
- •15. Нормальное распределение, функция Лапласа. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило 3-х сигма.
- •16. Числовые характеристики случайных величин, их вычисление. Содержательный смысл и свойства математического ожидания и дисперсии.
- •17. Свойства математического ожидания одной и нескольких случайных величин.
- •18. Свойства дисперсии одной и нескольких случайных величин.
- •19. Математическое ожидание и дисперсия биномиального и пуассоновского случайных распределений.
- •24. Закон больших чисел (формулировка и применения).
- •25. Объяснить на примерах понятия «генеральная совокупность», «варианта», «выборка», «вариационный ряд». Принципы формирования выборочной совокупности.
- •26. Дискретный и интервальный вариационные ряды. Формула Стёрджеса. Как рассчитать среднюю величину признака интервального вариационного ряда?
- •27. Размах, мода и медиана выборки.
- •28. Полигон и кумулята. Графический способ нахождения моды интервального вариационного ряда.
- •29. Коэффициент концентрации Джини и кривая Лоренца.
- •30. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности. Какая оценка параметра генеральной совокупности называется несмещенной, состоятельной (на примере мо)?
- •31. Построение доверительного интервала по большой выборке для математического ожидания генеральной совокупности при известной дисперсии. Вероятностный смысл заданного параметра надежности.
- •33. Построение доверительного интервала для дисперсии при условии, что признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности.
- •34. Проверка статистических гипотез. Ведущая и конкурирующая гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода. Как влияет на ошибку 2-го рода увеличение доверительной вероятности для ведущей гипотезы?
- •35. Мощность критерия, его вероятностный смысл.
- •36. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. Двусторонний, правосторонний и левосторонний критерии.
- •37. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по выборочным данным.
- •38. Функциональная, статистическая и корреляционная связи. Примеры.
- •39. Коэффициент корреляции. Эмпирическая характеристика тесноты связи между случайными величинами по числовым значениям коэффициента корреляции.
- •40. Метод наименьших квадратов для построения уравнения парной регрессии y на X. Проверка значимости коэффициента корреляции.
31. Построение доверительного интервала по большой выборке для математического ожидания генеральной совокупности при известной дисперсии. Вероятностный смысл заданного параметра надежности.
Х1, Х2, …, Хn – выборка; n>30
х =(х1+х2+…+хn)/n, Ŝ2 = (х1- х)2+(х2- х)2+…+(хn-x)2
n
(x-μ) / (S/√n) ~ N(0,1)
Ответ: (x- tγ (S/√n); x+ tγ (S/√n)).
32. Построение доверительного интервала по малой выборке для математического ожидания генеральной совокупности в случае, когда признак распределен по нормальному закону и дисперсия распределения неизвестна.
х1, х2, …, хn - выборка; n≤30. ген ср и дисп в ГС неизвестны и имеют норм распределение. Решение:
х =(х1+х2+…+хn)/n, Ŝ2 = (х1- х)2+(х2- х)2+…+(хn-x)2
n-1
t=(x-μ) / (S/√n) ~ fn-1 (t) – пл-ть вер-ти распределения Стьюдента. Р(|t|) = γ/2, по таб Стьюдента для н =n-1, γ
Р(|t|≤tγ)=γ, находится значение tγ .
Ответ: x- tγ (S/√n)≤μ≤ x+ tγ (S/√n)
33. Построение доверительного интервала для дисперсии при условии, что признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности.
Предположим: признак в ГС ~ N(μ;σ); μσ=?
σ2- дисперсия ГС, для нее нужно построить дов интервал с надежностью γ.
Решение: z = (n Ŝ2)/σ2 ~ χ2n-1; х1, х2, …, хn
Ŝ2= (х1- х)2+(х2- х)2+…+(хn-x)2
n-1 Р(σ2 принадлежащей (α,β))= γ.
Р(χ2n-1<z1)=(1+γ)/2; P(χ2n-1>z2)=(1-γ)/2. z1,z2 – max из таб. Р(z1≤(nS2)/ σ2≤ z2)=γ; Р((nŜ2)/z2≤σ2≤(nŜ2)/z1)=γ
34. Проверка статистических гипотез. Ведущая и конкурирующая гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода. Как влияет на ошибку 2-го рода увеличение доверительной вероятности для ведущей гипотезы?
Статистическая гипотеза касается св-в генеральной совокупности, кот, оценивается по выборочным данным. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.
Н0 – главная (ведущая)гипотеза. Н1 – конкурирующая (альтернативная) гипотеза, которая противоречит главной.
Правило: В качестве Н0 из 2-х гипотез выбирается такая, что в случае, если гипотеза принята, но на самом деле не верна имеем наиболее тяжкие последствия. (Пример: партия лекарств годная ← Н0 , негодная ← Н1).
Проверка статистич. гипотез: 1) берется выборка 2) по выборке вычисляется некоторая числовая величина Vнабл (статистич. критерий) 3) задаётся уровень значимости 0< α <1 (𝜰 = 0,8; 0,85; 0,9; 0,95; 0,99) , α = 1-𝜰 = 0,2; 0,15; 0,1 4) по статистическим таблицам вычисляются пороговые значения uα 5) если Vнабл < uα, то принимается гипотеза Н0, в противном случае – Н1.
Ошибка 1-го рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка 2-го рода – что будет принята неправильная гипотеза.
Истинная гипотеза Принятое решение |
Н0 |
Н1 |
||
Верна Н0 |
Угадали что верна = 𝜰=1- α |
Ошибка 1-го рода, вер. ошибки = α |
||
Верна Н1 |
Ошибка 2-го рода, вер. = 1-β (мощн.критерия) |
Угадали вер, что угадали = β(вер. ошибки 2го рода) |
||
Если уровень значимости α (вер-ть ошибки 1-го рода) уменьшается, то β (вер-ть ошибки 2-го рода) возрастает. f(x)
H0 H1
n
β Uкр α