19. Математическое ожидание и дисперсия биномиального и пуассоновского случайных распределений.

CВ, равная количеству успехов при проведении испытаний по схеме Бернулли, имеет биномиальное распределение.

МХ = 0*qⁿ+1*C¹_npq^n-1+2*C²_np²q^n-2+…+(n-1)C^n-1_np ^n-1q+np

X=ξ₁+…+ ξ_n, где ξ_i – число успехов в i-ом испытании

ξ_i = 1, если ξ_i: 0 1; 0, если р: q p

МХ = ∑ⁿ_i=1 Мξ_i = np DХ = ∑ⁿ_i=1 Dξ_i = npq

Dξ_i = M(ξ_i)² – (Mξ_i)² = 0*q+1*p-p² = p-p² = p(1-q) = pq

Х – СВ по закону Бернулли:

МХ=np, DX=npq, σX=√npq

Пуассоновское распределение. Распределение Пуассона есть распределение дискретной случайной величины, которая равна числу успехов в определенном интервале.

P_k= ℓimC^k_np^k(1-p)^n-k = ℓim [n(n-1)…(n-k+1) * a ^k 1- a ^a-k

k! n n

= a^k/k! ℓim(1-1/n)…(1-(k-1)/n)*[(1-a/n)ⁿ/(1-a/n)^k]=

a^k/k! ℓim(1-a/n)ⁿ = a^k/k! ℓim[(1-x)^1/x ]^-a = a^k/k! * e^-a, при n→∞

МХ=а, DX=а, σX=√а; ℓim npq = ℓim np(1-p) = ℓim np(1-a/n) = a, при n→∞, np=a

20. Математическое ожидание и дисперсия равномерного случайного распределения (с выводом формул).

Равномерное распределение а≤ Х≤ b

P(x) = 1b-a

MX = abx*pxdx= abxb-adx= 1b-a* x22 ba= b2- a2(b-a)= a+b2

DX = M(X²) – (MX)² = abx2= 13(b-a)*b3-a3- aa+b22= a2+ab+b23-a2+ 2ab+ b24= a2-2ab+b212=b-a212

21. Локальная теорема Муавра-Лапласа (формулировка и значение).

Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

22. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа (формулировка и значение).

Показывает как вычислить вероятность Рn(k₁,k₂) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз.

23. Центральная предельная теорема. В чем состоит ее общность по сравнению с интегральной предельной теоремой Муавра-Лапласа?

Пусть Х₁, Х₂, …, Х_n, … - независимые СВ, кот. определены на интервале (-∞; +∞)

S_n = х₁+х₂+…+х_n+…, MS_n, DS_n

S_n = (S_n –M S_n)/√DS_n

Теорема: Если 1. для люб n сущ МХ_n и DX_n 2.выполняется некоторое тех условие на центральные моменты 3-го порядка для Х_i (i=1,…) тогда вер-ть того, что Р(х₁< S_n <x₂) = Р((х₁ - MS_n )/ √DS_n < S_n <((х₂ - MS_n )/ √DS_n) ≈ Ф ((х₂ - MS_n )/ √DS_n) - Ф ((х₁ - MS_n )/ √DS_n)

Центр пред теор сильнее, чем интегральная теор Муавра-Лапласа, т.к. х₁,х₂,…,х_n могут быть разные независимые СВ (а в теор Муавра-Лапласа все эти величины распределены по Бернулли).

24. Закон больших чисел (формулировка и применения).

Под законом больших чисел понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице, отклонение средней арифметической достаточно большого числа случайных величин от постоянной величины - средней арифметической их математических ожиданий, не превзойдет заданного как угодно малого числа.

Отдельные, единичные явления, которые мы наблюдаем в природе и в общественной жизни, часто проявляются как случайные (например, регистрируемый смертный случай, пол родившегося ребенка, температура воздуха и др.) вследствие того, что на такие явления действует много факторов, не связанных с существом возникновения или развития явления.

Нер-во П.Л.Чебышева: СВ Х, где a<Х<b, МХ, DX, для любого ε>0, Р(|Х-МХ|>ε) ≤ DX/ε²

Доказательство: DX= ∫^b_a (x-MX)² p(x)dx ≤ ∫(x-MX)² p(x)dx ≥ |x-MX| ≥ε =>

a( )b

|x-MX|<ε

≥ε² ∫p(x)dx = ε²P(|x-MX|>ε

P(|η _n-M η _n |>ε →0, при n→∞, для любого ε>0 –Закон больших чисел.

Применение: 1. Производится n измерений х₁, х₂,…,х_n. По закону больших чисел за окончательный результат следует взять х = х₁+ х₂+…+х_n / n

2. Сущ. 2 определения вер-ти

Классическое Р(А)=m/n, ℓim m/n = P (A), при n→∞

S_n = ξ₁ +ξ₂ +…+ξ_n , ξ_i = 1, если в i-ом испытании событие А; 0, если в i-ом испытании событие не А

М ξ_i = Р(А); η _n= S_n /n

ξ_i: 0 1

Р: 1-Р(А) Р(А); Мη _n =(1/n)*М S_n = 1/n(Мξ₁ +Мξ₂ +…+Мξ_n) = 1/n( Р(А)+Р(А)+…+Р(А))= (nР(А))/n=Р(А)

η _n= S_n /n=m/n