Нормированность волновой функции

Волновая функция по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо во всём пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Матричная и векторная формулировки

Волновая функция одного и того же состояния в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в квантовой статистике) следует описывать оператором типа матрицы плотности. То есть, некая обобщённая функция от двух аргументов должна описать корреляцию нахождения частицы в двух точках.

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования вопроса, есть ли на нём бильярдные шары, предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать о том, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше. Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.