27. Общее понятие «численный метод».

Численный метод наряду с возможностью получения результата должен обладать еще одним важным качеством – не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.

Основные источники погрешностей:

1. Погрешности математической модели.

Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.

2. Погрешности исходных данных.

Данные могут оказаться неточными.

3. Погрешности метода решения.

Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.

4. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.

В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.

Рассмотрим подробнее пункт 4.

Пусть - приближенное представление числа X, т.е.

,

где - погрешность.

28. Метод Монте-Карло вычисления определенных интегралов: расчетная формула, алгоритм метода.

Численное нахождение определенных интегралов. Метод Монте-Карло относительно просто приспосабливается к форме области интегрирования [4], эффективно распараллеливается. Для учебных целей мы ограничимся только случаем одномерного интеграла и сравним результаты решения, полученные этим способом, с результатами выполнения лабораторных работ № 3, 4. Расчетная формула решения поставленной задачи вычисления однократного интеграла методом Монте-Карло [4]:

 

                                     (8)

 

где   – независимые реализации случайной величины  , равномерно распределенной на отрезке   с единичной плотностью распределения;   – число реализаций. В случае однократного интеграла этот метод проигрывает другим, так как приемлемая точность достигается при слишком больших значениях  . Поэтому на практике метод Монте-Карло применяется только для вычисления многократных интегралов. Границы применимости этого метода могут быть расширены в случае параллельной реализации.

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл 

Рассмотрим случайную величину  , равномерно распределённую на отрезке интегрирования  . Тогда   также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как , где   — плотность распределения случайной величины  , равная   на участке  .

Таким образом, искомый интеграл выражается как .

Но матожидание случайной величины   можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем   точек, равномерно распределённых на  , для каждой точки   вычисляем  . Затем вычисляем выборочное среднее:  .

В итоге получаем оценку интеграла: 

Точность оценки зависит только от количества точек  .

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как  , и суммируем их площади.

[править]Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования

Рисунок 3. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

• ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого   можно легко вычислить;

• «набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (  штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;

• определим число точек (  штук), которые попадут под график функции;

• площадь области, ограниченной функцией и осями координат,   даётся выражением 

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.