- •1.Понятие«вычислительная задача». Типы вычислительных задач и их постановка.
- •3. Условия корректности вычислительной задачи.
- •2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений: класс метода, прямой и обратный ходы, оценка трудоемкости.
- •Трудоёмкость метода Гаусса
- •Условие сходимости метода простых итераций
- •Трудоёмкость метода простых итераций
- •Условие сходимости метода Зейделя
- •Наглядное представление метода Зейделя
- •7. Источники погрешностей вычислений.
- •8. Метод бисекции решения нелинейных уравнений: условие локализации корня, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода.
- •9. Погрешности представления (округления) чисел в эвм. Понятие «представимое множество эвм». Способы округления.
- •11. Понятия «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность». Реальные оценки погрешностей.
- •Упрощенный метод Ньютона
- •13. Правила записи приближенных чисел, понятия «значащие цифры числа» и «верные значащие цифры числа».
- •15. Абсолютная и относительная погрешности сложения.
- •14. Метод Ньютона–Рафсона решения систем нелинейных уравнений: алгоритм решения, условие окончания.
- •Алгоритм решения:
- •16. Метод Лагранжа интерполяции данных: тип метода, вид и степень общего полинома Лагранжа, условие интерполяции, задача построения полинома Лагранжа, недостаток метода.
- •17. Абсолютная и относительная погрешности вычитания.
- •18. Метод сплайнов интерполяции данных: тип метода, количество и степень сплайн-полиномов, условие интерполяции и условия сопряженности сплайнов, эффективность метода.
- •19. Абсолютная и относительная погрешности умножения.
- •20. Абсолютная и относительная погрешности деления.
- •21. Абсолютная и относительная погрешности деления.
- •24. Методы центральных прямоугольников, трапеций и Симпсона вычисления определенных интегралов: расчетные формулы, порядок точности, оценка погрешности, вычисление погрешности по правилу Рунге.
- •27. Общее понятие «численный метод».
- •28. Метод Монте-Карло вычисления определенных интегралов: расчетная формула, алгоритм метода.
- •29. Понятие «численный метод эквивалентных преобразований».
- •35. Понятие «итерационный (приближенный) численный метод.
- •Условие сходимости метода простых итераций
- •Трудоёмкость метода простых итераций
- •36.Решение оду модифицированным методом Эйлера: порядок точности, начальные условия, расчетная формула для получения решения, графическая интерпретация, вычисление погрешности по правилу Рунге.
- •37.«Численный метод статистических испытаний (случайный численный метод)»
8. Метод бисекции решения нелинейных уравнений: условие локализации корня, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода.
Пусть задана непрерывная функция y = f(x). Требуется найти корень уравнения f(x) = 0.
Принимается, что найден интервал [a, b], содержащий одну точку x, в котором значение функции равно нулю. Этому соответствует выполнение условия, что знаки функции на концах интервала различные.
Интервал [a, b], содержащий точку корня, называется интервалом неопределённости. Методом бисекции, как и другими численными методами, можно сократить длину этого интервала до любой наперёд заданной малой величины ε, т.е. найти корень с погрешностью, не превышающей ε.
Процесс поиска корня состоит из нескольких шагов последовательного приближения (итераций). На каждом шаге вычисляется контрольное значение (точка c = (a + b) / 2). Далее анализируются знаки значений функции f(a) и f(c). Если эти знаки одинаковые, то на следующем шаге поиска берётся интервал [a, b], у которого a = c (таким образом, отсекается левая половина предыдущего интервала), иначе (если знаки f(a) и f(c) разные) назначается b = c (таким образом, отсекается правая половина предыдущего интервала).
Процесс поиска продолжается, пока интервал [a, b] имеет длину b – a > ε. В противном случае получаем результат с точностью ε. В качестве значения корня можно принять любую точку последнего интервала [a, b].
В связи с выбором точки c в середине отрезка между точками a и b и отсечением той или иной половины этого отрезка данный метод ещё называется методом деления отрезка пополам.
Так как искомая точка корня функции всегда лежит между концами постоянно сжимающегося отрезка, то можно сказать, что корень взят в вилку. Отсюда происходит третье название данного метода: метод «вилки».
Метод бисекции – простой и надежный метод. Он сходится, т.е. приводит к желаемому результату, для любых непрерывных функций f(x). При этом скорость сходности невелика.
Количество итераций можно вычислить следующим образом:
– исходная длина отрезка равна b – a;
– после первой итерации получаем
;
– в конце, после n итераций, будет
– отсюда имеем выражение
– при b – a = 1 и ε = 0,001 получается количество итераций n = 10.
9. Погрешности представления (округления) чисел в эвм. Понятие «представимое множество эвм». Способы округления.
10. Метод итераций решения нелинейных уравнений: условие сходимости, получение вспомогательной функции, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода. В данном методе предварительно решаемое уравнение f(x) = 0 заменяется эквивалентным, содержащим отдельно величину x. При этом на основе выражения исходной функции f(x) получается выражение вспомогательной функции φ(x) и решается уравнение x – φ(x) = 0. При нахождении корня x будет x = φ(x). Так как данный метод даёт результат с погрешностью, не превышающей заданную величину ε, то фактически условие остановки процесса поиска будет |x – φ(x)| ≤ ε.
Алгоритм метода итераций:
1) принимаем и вводим в ЭВМ начальное значение x и допустимую погрешность вычисления корня ε;
2) присваиваем величине x0 значение x;
3) вычисляем новое значение x = φ(x0);
4) анализируем условие |x – x0| > ε: если это условие выполняется, то переходим к пункту 2, т.е. продолжаем поиск корня; иначе выводим в качестве результата величину x.