36.Решение оду модифицированным методом Эйлера: порядок точности, начальные условия, расчетная формула для получения решения, графическая интерпретация, вычисление погрешности по правилу Рунге.

В данном методе мы находим tg угла наклона касательной в точке:

x = x[m] + h/2; y = y[m] + (h/2)*y'[m]

Соотношения, описывающие модифицированный метод Эйлера имеют вид:

y[m+1] = y[m] + h*F(x[m],y[m],h) (7)

F(x[m],y[m],h) = f( x[m]+h/2, y[m]+(h/2)*y'[m] ) (8)

y'[m] = f(x[m],y[m]) (9)

Модифицированный метод Эйлера также согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h^2, и также является методом Рунге-Кутта второго порядка.

37.«Численный метод статистических испытаний (случайный численный метод)»

Суть данного метода состоит в том, что результат испытания зависит от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики (выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих исследователя величин (характеристик системы).

38. Решение ОДУ методом прогноза и коррекции: порядок точности, начальные условия, алгоритм процесса последовательных приближений к решению в новой точке на основе прогноза и коррекции, графическая интерпретация, условие окончания приближений.

Схема предиктор-корректор (метод прогноза и коррекции, предсказывающе-исправляющий метод[1]) — в вычислительной математике — семейство алгоритмов численного решения различных задач, которые состоят из двух шагов. На первом шаге (предиктор) вычисляется грубое приближение требуемой величины. На втором шаге при помощи иного метода приближение уточняется (корректируется).

Метод Милна — для ОДУ[3]

метод (схема) Хойна (предиктор — Метод Эйлера, корректор — Метод трапеций)[4]

При исользовании схемы п.-к. для решения ОДУ отмечают высокую точность расчета и отсутствие свойства самостартуемости (то есть для начала вычислений по схеме п.-к. требуется предварительно воспользоваться другим, самостартующим методом)[5]

Метод Адамса-Башфорта — параллельный п.-к. для решения нежестких краевых задач[6] (используется корректор Адамса-Адамса-Мултона[7])

Формулы Хемминга[8]

40. Решение ОДУ методом Рунге-Кута: порядок точности, начальные условия, расчетные формулы для получения решения, смысл коэффициентов в итоговой расчетной формуле, вычисление погрешности по правилу Рунге.

Система ОДУ, в которой каждое уравнение первого порядка, имеет вид

где - количество уравнений системы;

- номер каждой зависимой переменной ;

- независимая переменная.

Решение системы ОДУ при заданных начальных условиях , ,..., ,..., сводится к нахождению функций решения (интегральных кривых) ,..., ,..., .

Расчетные формулы для вычисления решения системы ОДУ те же, что и для одного ОДУ. Особенность состоит в том, что у каждого из уравнений системы имеется свое выражение правой части и при формировании нового - го значения каждой j-ой зависимой пе­ременной на основе старого - го значения вычисляются свои - е величины .

С учетом этих особенностей расчетные формулы для вычисления реше­ния системы ОДУ методом Рунге-Кутта могут быть записаны в следующем виде:

- номера точек решения.

При программной реализации алгоритма решения систем ОДУ значения правых частей ОДУ (производных функ­ций) и зависимых переменных (функций, являющихся решением системы) по­мещают в одномерные массивы (векторы)

Здесь индексы и означают старое (в том числе начальное) и новое решения системы ОДУ.

Величины помещают в двумерный массив , у элементов которого первым индексом является номер этих величин от 1 до 4, а вторым - номер соответствующей функции решения.

Тогда в общем виде (с использованием обозначений векторов) будем иметь следующую запись расчетных формул метода Рунге-Кутта:

Для вычисления элементов массива значений производных состав­ляется отдельная подпрограмма. В неё передаются значение независимой переменной , массив промежуточных значений функций решения , а также величины, входящие в вы­ражения правых частей дифференциальных уравнений (параметры математи­ческой модели, описываемой данной системой ОДУ).