1.Понятие«вычислительная задача». Типы вычислительных задач и их постановка.

Решение задачи с помощью компьютера - это процесс автоматического преобразования исходной информации (исходных данных) в искомый результат в соответствии с заданной последовательностью выполнения действий, называемой алгоритмом. Вычислительные задачи связаны с вычислением в традиционном (арифметическом) смысле этого слова неизвестного значения информационного объекта (переменной, функции и т.д.). Основными элементарными операциями, выполняемыми при решении таких задач, являются арифметические операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и т.д. В постановке вычислительной задачи выделяют три обязательных элемента: условие задачи, известные данные (исходные данные) и неизвестное (неизвестные). Условие задачи представляет собой явно или неявно выраженное соотношение между данными и неизвестными задачи.

3. Условия корректности вычислительной задачи.

Корректность. Определим вначале понятие устойчивости решения.

Решение задачи y* называется устойчивым по исходным данным x*, если оно зависит от исходных данных непрерывным образом. Это означает, что малому изменению исходных данных соответствует малое изменение решения. Строго говоря, для любого e > 0 существует d = d(e) > 0 такое, что всякому исходному данному x*, удовлетворяющему условию |x - x*| < d, соответствует приближенное решение y*, для которого |y – y*| < e.

Говорят, что задача поставлена корректно, если выполнены следующие три условия:

1. Решение существует при любых допустимых исходных данных.

2. Это решение единственно.

3. Это решение устойчиво по отношению к малым изменениям исходных данных.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, задача называется некорректной.

2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений: класс метода, прямой и обратный ходы, оценка трудоемкости.

Метод последовательного исключения неизвестных Гаусса является одним из универсальных, точных и прямых методов, позволяющих за конечное количество действий получить точное решение системы.

Решение по этому методу выполняется в два хода: прямой и обратный.

При прямом ходе исходная система уравнений:

приводится к эквивалентной системе с треугольной матрицей коэффициентов:

При обратном – из эквивалентной системы идёт последовательное, начиная с конца, определение неизвестных x_j, j = n, n – 1, …, 1 по следующим рекуррентным формулам:

– при j = n получаем

– при j = n – 1, n – 2, … , 1 получаем

Трудоёмкость метода Гаусса

Количество действий прямого хода:

Количество действий обратного хода:

.

Суммарное количество действий:

Здесь n – количество уравнений (порядок) системы.

При n = 3

4. Метод простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений: класс метода, оценка трудоемкости, условие сходимости, получение начального приближения, алгоритм решения, условие окончания.

Это приближённый метод. Он позволяет получить решение сис-темы линейных алгебраических уравнений с погрешностью, не превышающей заданную допустимую величину ε, за ограниченное количество итераций.

Имеем исходную систему уравнений:

(1.5)

Запишем систему (1.5) в матричной форме:

A X = B,

где A (n  n) – матрица коэффициентов a_ij;

B(n) – вектор правых частей b_i;

X(n) – вектор решений x_j.

Можно представить исходную систему матричным уравнением

A X – B = 0

или в развёрнутой матричной форме

Вектор-столбец в правой части с нулевыми значениями элементов получается, когда вектор X есть точное решение системы. В противном случае получим вектор-«невязок»

Обозначим через Z вектор приближённых значений решения системы. Вначале это будет нулевое приближение – вектор Z⁽⁰⁾. В качестве начального приближения решения системы можно брать .

При подстановке в систему (1.8) на место X вектора Z⁽⁰⁾ получим:

(1.9)

где – вектор-«невязок» начального (нулевого) приближения относительно точного решения.

Цель и суть метода простых итераций – сведение к нулю «невязок» в решении системы (1.9). Практически стремятся к выполнению условия

где S – номер итерации, S = 0, 1, 2, …

Общая формула

где j – номер слагаемого скалярного произведения i-той строки матрицы A на вектор Z.