35. Понятие «итерационный (приближенный) численный метод.

Это приближённый метод. Он позволяет получить решение сис-темы линейных алгебраических уравнений с погрешностью, не превышающей заданную допустимую величину ε, за ограниченное количество итераций.

При этом может быть достигнута экономия машинного времени по сравнению с получением точного решения по методу Гаусса, требующему больших трудозатрат, резко возрастающих с увеличением порядка решаемой системы уравнений.

Имеем исходную систему уравнений:

(1.5)

Запишем систему (1.5) в матричной форме:

A X = B, (1.6)

где A (n  n) – матрица коэффициентов a_ij;

B(n) – вектор правых частей b_i;

X(n) – вектор решений x_j.

Можно представить исходную систему матричным уравнением

A X – B = 0 (1.7)

или в развёрнутой матричной форме

(1.8)

Вектор-столбец в правой части с нулевыми значениями элементов получается, когда вектор X есть точное решение системы. В противном случае получим вектор-«невязок» Δx.

Обозначим через Z вектор приближённых значений решения системы. Вначале это будет нулевое приближение – вектор Z⁽⁰⁾. В качестве начального приближения решения системы можно брать .

При подстановке в систему (1.8) на место X вектора Z⁽⁰⁾ получим:

(1.9)

где – вектор-«невязок» начального (нулевого) приближения относительно точного решения.

Цель и суть метода простых итераций – сведение к нулю «невязок» в решении системы (1.9). Практически стремятся к выполнению условия

(1.10)

где S – номер итерации, S = 0, 1, 2, …

Величина получается из соответствующего i-го уравнения системы (1.9).

Общая формула

(1.11)

где j – номер слагаемого скалярного произведения i-той строки матрицы A на вектор Z.

Если хотя бы по одному условие (1.10) не выполняется, то производится корректировка начального и любого предыдущего приближения к точному решению, и получается новое приближение:

(1.12)

Значение a_ii не равно нулю, что следует из условия сходимости.

Далее на следующей итерации вычисляются новые значения «невязок» .

Если для всех «невязок» условие (1.10) выполняется, то формируется вектор приближённых решений системы (1.1):

(1.13)

Условие сходимости метода простых итераций

Метод простых итераций сходится при условии, что диагональные коэффициенты матрицы A исходной системы по абсолютной величине больше суммы абсолютных величин других коэффициентов в своей строке:

Чем больше преимущество (доминирование) диагональных коэффициентов в своей строке (в этом случае говорят, что матрица хорошо обусловлена), тем меньше потребуется итераций для получения решения системы с той же точностью.

Трудоёмкость метода простых итераций

Количество действий этого метода на одной итерации

Q_итер = 2n² + 5n.

Однако надо иметь в виду, что решение по этому методу получается после выполнения нескольких итераций. Количество их зависит от требуемой точности.