- •1.Понятие«вычислительная задача». Типы вычислительных задач и их постановка.
- •3. Условия корректности вычислительной задачи.
- •2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений: класс метода, прямой и обратный ходы, оценка трудоемкости.
- •Трудоёмкость метода Гаусса
- •Условие сходимости метода простых итераций
- •Трудоёмкость метода простых итераций
- •Условие сходимости метода Зейделя
- •Наглядное представление метода Зейделя
- •7. Источники погрешностей вычислений.
- •8. Метод бисекции решения нелинейных уравнений: условие локализации корня, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода.
- •9. Погрешности представления (округления) чисел в эвм. Понятие «представимое множество эвм». Способы округления.
- •11. Понятия «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность». Реальные оценки погрешностей.
- •Упрощенный метод Ньютона
- •13. Правила записи приближенных чисел, понятия «значащие цифры числа» и «верные значащие цифры числа».
- •15. Абсолютная и относительная погрешности сложения.
- •14. Метод Ньютона–Рафсона решения систем нелинейных уравнений: алгоритм решения, условие окончания.
- •Алгоритм решения:
- •16. Метод Лагранжа интерполяции данных: тип метода, вид и степень общего полинома Лагранжа, условие интерполяции, задача построения полинома Лагранжа, недостаток метода.
- •17. Абсолютная и относительная погрешности вычитания.
- •18. Метод сплайнов интерполяции данных: тип метода, количество и степень сплайн-полиномов, условие интерполяции и условия сопряженности сплайнов, эффективность метода.
- •19. Абсолютная и относительная погрешности умножения.
- •20. Абсолютная и относительная погрешности деления.
- •21. Абсолютная и относительная погрешности деления.
- •24. Методы центральных прямоугольников, трапеций и Симпсона вычисления определенных интегралов: расчетные формулы, порядок точности, оценка погрешности, вычисление погрешности по правилу Рунге.
- •27. Общее понятие «численный метод».
- •28. Метод Монте-Карло вычисления определенных интегралов: расчетная формула, алгоритм метода.
- •29. Понятие «численный метод эквивалентных преобразований».
- •35. Понятие «итерационный (приближенный) численный метод.
- •Условие сходимости метода простых итераций
- •Трудоёмкость метода простых итераций
- •36.Решение оду модифицированным методом Эйлера: порядок точности, начальные условия, расчетная формула для получения решения, графическая интерпретация, вычисление погрешности по правилу Рунге.
- •37.«Численный метод статистических испытаний (случайный численный метод)»
29. Понятие «численный метод эквивалентных преобразований».
Методы эквивалентных преобразований – это методы, позволяющие заменить исходную задачу другой, имеющей то же решение. Выполнение эквивалентных преобразований оказывается полезным, если новая задача проще исходной, или обладает лучшими свойствами, или для неё существует известный метод, а может быть, и готовая программа.
31.Понятие «численный метод аппроксимации (приближения)».
Понятие «аппроксимация» происходит от латинского «appro-ximo» – приближаюсь. Задача аппроксимации состоит в приближённом выражении одних величин или геометрических образов через другие более простые.
Существует два основных подхода к аппроксимации табличных данных непрерывными функциями.
1.При одном из них требуется, чтобы аппроксимирующая функция в узлах аппроксимации имела значения, равные табличным. Этого удается достичь с помощью методов интерполяции.
2.При другом подходе табличные данные аппроксимируют простой функцией, применимой во всем диапазоне данных, но необя-зательно совпадающей в узлах аппроксимации с табличными значе-ниями. При этом обычно стремятся свести к минимуму сумму квадратов отклонений.
Интерполяция данных осуществляется след ми методами: Метод Лагранжа, Метод Ньютона, Интерполяция с помощью сплайнов. методом наименьших квадратов.
32.Решение ОДУ обыкновенным методом Эйлера: порядок точности, начальные условия, расчетная формула для получения решения, графическая интерпретация, вычисление погрешности по правилу Рунге.
Дано ОДУ y′ = f(x, y), начальное условие x = x0, y = y0. Диффе-ренциальное уравнение графически задаёт наклон кривой решения y = y(x) в любой точке x, а физически характеризует скорость изме-нения функции y = y(x). В начальный момент известна точка x0, y0. В этой точке вычисляем по заданному дифференциальному уравне-нию производную функции y′ = f(x0, y0) и, принимая на шаге h эту величину постоянной, переходим в точку x1 = x0 + h, где получаем новое значение y1 = y0 + hf(x0, y0). Эту процедуру продолжаем дальше.
Расчётная формула метода Эйлера
где m – количество точек решения.
Графическая интерпретация метода Эйлера дана на рис. 1.14.
Рис. 1.14
Оценим погрешность метода Эйлера. Для этого разложим точ-ное решение в окрестности h от точки xi в ряд Тейлора
.
Это разложение согласуется с формулой метода Эйлера до чле-нов первого порядка по h, а погрешность метода равна остаточному члену
.
Если расчётная формула численного метода согласуется с раз-ложением в ряд Тейлора до членов порядка , то число p называется порядком точности метода.
Таким образом, метод Эйлера является методом первого поряд-ка точности (p = 1).
Практическая оценка погрешности метода Эйлера может быть получена по правилу Рунге
,
где yh, yh/2 – решения дифференциального уравнения, полученные на каждом отрезке интегрирования за один шаг h и за два половинных шага h / 2.
При p = 1 получаем .
34. Решение ОДУ исправленным методом Эйлера: порядок точности, начальные условия, расчетная формула для получения решения, графическая интерпретация, вычисление погрешности по правилу Рунге
В исправленном методе Эйлера мы находим средний tg угла наклона касательной для двух точек: x[m],y[m] и x[m+1],y[m]+h*y'[m]. Соотношения, описывающие данный метод, имеют вид:
y[m+1] = y[m] + h*F(x[m],y[m],h) (4)
F(x[m],y[m],h) = ( y'[m] + f(x[m]+h, y[m]+h*y'[m]) )/2 (5)
y'[m] = f(x[m],y[m]) (6)
Исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h^2, являясь, т.о. методом Рунге-Кутта второго порядка.