11. Понятия «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность». Реальные оценки погрешностей.

Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения Х_изм и истинным (действительным) значением Х_д измеряемой величины.

Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности

измерения к действительному значению измеряемой величины:

Выражается в процентах.

12. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений: условие сходимости, выбор начального приближения, вывод итерационной формулы, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода. Модификации метода Ньютона: метод с разностной производной, упрощенный метод

Метод Ньютона

Вывод итерационной формулы

Рис. 1.3

из последнего соотношения получаем

1) принимаем и вводим в ЭВМ начальное значение x и допустимую погрешность вычисления корня ε;

2) присваиваем величине x₀ значение x;

3) вычисляем новое значение

;

4) анализируем условие . если это условие выполняется, то переходим к пункту 2, т. е. продолжаем поиск корня; иначе выводим в качестве результата величину x.

Данный метод предполагает наличие у функции f(x) не только свойства непрерывности, но еще и дифференцируемости. Однако метод Ньютона можно применять и для недифференцируемых функций. В этом случае можно воспользоваться разностным аналогом производной

.

Такой подход иллюстрируется на рис. 1.4.

а б

Рис. 1.4: а – начало; б – продолжение

Алгоритм метода Ньютона с разностной производной:

1) вводим в ЭВМ x и ε;

2) формируем дополнительную точку x₁ = x + 0,1;

3) формируем две точки для проведения секущей

x₀ = x₁,

x₁ = x;

4) вычисляем новое значение

;

5) анализируем условие . если это условие выполняется, то переходим к пункту 3, т. е. продолжаем поиск корня; иначе выводим в качестве результата величину x.

Метод Ньютона нельзя использовать для функций, у которых в окрестности корня производная близка к нулю.

1. Упрощенный метод Ньютона

Если производная функции f′(x) в процессе поиска корня изменяется мало, то можно еë вычислить один раз в начальной точке x₀.

Тогда итерационная формула поиска запишется в виде:

Данный подход иллюстрируется на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Метод Ньютона сходится быстро, однако для обеспечения его сходимости нужно определённым образом задавать начальную точку x₀.

Условие сходимости (необходимое и достаточное) (см. рис. 1.6):

.

а б

Рис. 1.6

13. Правила записи приближенных чисел, понятия «значащие цифры числа» и «верные значащие цифры числа».

Правила записи приближенных чисел

Для каждого приближенного числа обязательно указывается его погрешность. Запись вида

a = a* ± D ( a *) означает, что a* является приближенным значением числа a с абсолютной погрешностью D (a *). Если же a* является приближенным значением числа a с относительной погрешностью d (a * ), то пишут так: a = a * ( 1 ± d ( a * )).

Значащие цифры в приближённых вычислениях, все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, если измерение произведено с точностью до 0,0001 и дало результат 0,0320, то З. ц. будут 3, 2 и 0.

Значащая цифра приближенного значения а, находящаяся в разряде, в котором выполняется условие: абсолютная погрешность не превосходит половину единицы этого разряда, называется верной. Значащие цифры разрядов, где не выполняется данное условие, называются сомнительными.