§ 9. Отношение порядка

Определение. Отношение r в множестве Х, удовлетворяющее условиям:

1) хrх для хХ (рефлексивность);

2) из хrу и уrх следует, что х=у (антисимметрия);

3) из хrу и уrz следует, что хrz (транзитивность).

называется частичным порядком на Х.

Пример. 1) Обычное отношение  (или ) на множестве всех чисел;

2) х является целым кратным у, где х и у из N;

3) отношение включения для множеств на множестве всех подмножеств.

Определение. Отношение r на Х, удовлетворяющее условиям:

1) хrх для хХ;

2) из хrу и уrz следует хrz.

называется предпорядком.

Пример. На некотором множестве людей отношением предпорядка являются: а) рост одного человека больше или равен росту другого; б) вес одного человека больше или равен весу другого.

Если на множестве Х задано отношение предпорядка r, то полагая, что хsу, если хrу и уrх, получим отношение эквивалентности s на Х (проверить самостоятельно). Эквивалентность s разбивает Х на классы эквивалентности [x]. Обозначим через [X] - множество всех классов эквивалентности в Х. На [X] предпорядок r порождает отношение частичного порядка t по правилу [x]t[y], если  х₁[x] и у₁[y]: x₁rу₁. Если х₂[x], то х₂sх₁, т.е. х₂rх₁ и х₁rу₁, следовательно, х₂rу₁. Последнее означает, что [x]t[y] тогда и только тогда, когда для х[x] и у[y] выполняется хrу. Проверьте самостоятельно, что t является отношением частичного порядка на [X].

Определение. Отношение r в Х называется строгим порядком, если это отношение обладает свойствами

1) отношение хrх не верно ни для одного хХ (иррефлексивность);

2) из хrу и уrz следует хrz.

Если на множестве Х задан частичный порядок r, то он порождает на Х отношение строгого порядка t по правилу: хtу тогда и только тогда, когда хrу и ху. Верно и обратное: отношение строгого порядка порождает отношение частичного порядка (каким образом?).

Таким образом, наличие одного из порядков, частичного или строгого, автоматически порождает на том же множестве наличие и другого порядка. Следовательно, можно говорить лишь о наличии порядка на множестве, имея ввиду, что тогда на этом множестве есть и частичный, и строгий порядки.

Множество Х, на котором введено отношение частичного порядка r, называется линейно упорядоченным (или цепью), если для х,уХ выполнено одно из отношений: либо хrу, либо уrх.

Пусть Х - множество с частичным порядком r, а МХ. Тогда уХ называется левой гранью множества М, если уrх для хМ. Если же zХ и хrz для хМ, то z называют правой гранью множества М.

Определение. уХ называется точной левой гранью множества МХ, если

1) уrх для хМ;

2) zrу для zХ: zrх.

Определение. уХ называется точной правой гранью множества МХ, если:

1) хrу для хМ;

2) уrz для zХ: zrх.

Определение. уМ называется правым экстремальным (левым) элементом множества МХ, если: хrу (соответственно, уrх) для хМ.

Задачи.

1. Показать, что если r является отношением частичного порядка, то r^-1 также есть частичный порядок.

2. На множестве всех непрерывных функций на отрезке [а, в] введем отношение f=О(g)по определению: для всех х[а, в] выполняется неравенство f(х)Мg(х) для некоторого М. Показать, что таким образом введеное отношение является предпорядком.

3. Доказать, что отношение mn, если n делится на m, является отношением порядка на N. Проверить, что для всякого конечного множества АN в этом упорядочении существует точные грани.