10.14 Теорема.

Доказательство. Очевидно, Действительно, объект A - неупорядоченная выборка из n элементов по m, их число. После того, как эти m элементов отобраны, их можно упорядочить m! способами (в роли объекта B выступает “ порядок “ в выборке). Совместный выбор “A и B“ - упорядоченная выборка.

10.15 Пример. Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковые книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?

Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.

10.16 Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (n).

10.17 Теорема. (n) = n^m.

Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и так далее, m -тый элемент также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем n^m .

10.18 Пример. Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 10⁴.

10.19 Пример. Рассмотрим вектор длины m, каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов ?

Это есть выборка объемом m из двух элементов. Ответ : 2^m

10.20 Перестановки с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых k₁ элементов первого типа, k₂ элементов второго типа и т.д., k_s элементов s-того типа, причем k₁ + k₂ + ... + k_s = n. Упорядоченные выборки из таких n элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается С_n(k₁, k₂, ..., k_s). Числа С_n(k₁, k₂, ..., k_s) называются полиномиальными коэффициентами.

10.21 Теорема. С_n(k₁, ..., k_s) =

Доказательство проведем по индукции по s, то есть по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k₁ = n, все элементы одного типа и С_n(n) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k₁ + k₂. В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k₁ (или k ₂): выбираем k₁ место, куда помещаем элементы первого типа.

С_n(k₁ k₂) =

Пусть формула верна для s = m , т.е. n = k₁ + ... + k_m и

С_n(k₁, ..., k_m)=

Докажем, что она верна для s = m + 1 (n = k₁ +... + k_m + k_m+1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объект A - выбор k _{m + 1} места для элементов (m + 1)-го типа; объект B - перестановка с повторениями из (n - k_m+1) элементов. Объект A можно выбрать способом, B -(k₁, ..., k_m) способами. По принципу произведения

и мы получили требуемую формулу.

Замечание. Числа называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что

10.22 Пример. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?

Решение. Буква “а” входит 3 раза (k ₁= 3), буква “м” - 2 раза (k₂ = 2), “т”-2 раза ( k₃ = 2), буквы “е”,”к”,”и” входят по одному разу, отсюда k₃ = k₄ = k₅ = 1.

С₁₀ (3, 2, 2, 1, 1, 1) = =151200.

10.23Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число  mn ) называется сочетанием с повторениями. Число сочетаний с повторениями обозначается (n).

10.24 Теорема. (n) =.

Доказательство. Пусть в выборку вошло m₁ элементов первого типа, m₂ элементов вторго типа, ... m_n - n - ного типа. Причем каждое 0  m_i  m и m₁ + m₂ + ... + m_n = m. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида:

Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов {b_m} существует биекция (докажите это!). Следовательно, (n) равно числу векторов b_m. “ Длина вектора” b_m равна числу нулей и единиц, или m + n - 1.

Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить на m + n  1мест, а это будет .

10.25 Пример. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать ? (Предполагается, что пирожных каждого вида  4).

Число способов будет

10.26 Пример. Пусть V = {a, b, c}. Объем выборки m = 2. Перечислить размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

1. Размещения: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)}.

2. Сочетания: {(ab), (ac), (bc)}.

3. Размещения с повторениями: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), (cc)}. (3)= 3² = 9.

4. Сочетания с повторениями: {(ab), (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)}.