§ 2. Включение множеств. Операции над множествами

Определение. Говорят, что множество А включено в множество В (и пишут АВ или ВА), если для любого элемента аА справедливо аВ.

Например, очевидны следующие включения NZQR.

Свойства:

1) для любого множества А справедливо включение АА;

2) если АВ и ВА, то А = В;

3) если АВ и ВС, то АС;

4) для любого множества А справедливо включение А.

Доказательство. Приведем доказательство лишь одного - четвертого свойства. Предположим противное, что  не включено в множество А. Это означает, что должно существовать х такое, что хА. Но для любого х справедливо х. Следовательно такого х не существует и А.

Замечание. Необходимо различать символ принадлежности  и символ включения . Символ принадлежности не обязан удовлетворять тем же свойствам что и символ включения. Так, например, 1Z, Z{Z}, однако 1{Z}.

Операция “объединение множеств”. Пусть А и В два множества. Объединением этих множеств называется множество АВ, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:

АВ = {x: хА либо хВ}.

Операция “разность множеств”. Для множеств А и В разность множеств А-В состоит из тех и только тех элементов х, которые удовлетворяют следующим двум условиям хА и хВ:

А - В = {х: хА и хВ}.

Операция “пересечение множеств”. Для множеств А и В их пересечением АВ называется множество таких элементов х, которые принадлежат как А, так и В:

АВ = {х: хА и хВ}.

Операция “симметрическая разность множеств”. Для множеств А и В их симметрической разностью называется множество

АВ = (А – В)(В – А).

Наиболее часто нами будут использоваться операции объединения и пересечения. Они могут быть распространены на любое число множеств (так же как и другие операции):

 _I А_ = {х:  I: хА_ },

 _I А = {х:  I: хА_ }.

В случае, когда множество индексов I = N, применяется запись вида _n . Например,

если А_n = (–1/n, 1/n ), то  _nА_n = {0}.

Если ВА, то разность множеств А – В называют еще дополнительным множеством к В или просто дополнением в А и обозначают В^C.

Операции над множествами хорошо иллюстрируются диаграммами Венна

Теорема 1. Для любых множеств A, B, C, D справедливы равенства

1. A(BC) = (AB)C	1'. A(BC) = (AB)C
2. AB = BA	2'. AB = BA
3. A(BC) = (AB)(AC)	3'. A(BC) = (AB)(AC)
4. АА = А	4'. АА = А
5. A = A, AD = D (при условии A  D)	5'. A = , AD = A (при условии AD)
6. A(D – A) = D	6'. A(D – A) = 

(Некоторые из приведенных выше свойств имеют специальные названия: 1 и 1' - свойства ассоциативности, 2 и 2' - коммутативности, 3 и 3' - дистрибутивности, 4 и 4' - идемпотентности).

Доказательство. Приведем доказательство свойств 3 и 5' (остальные доказываются просто или аналогично). Начнем со свойства 3. В силу одного из свойств операции включения (свойство 2), достаточно показать, что множество справа включено в множество, стоящее слева, и наоборот. Пусть хA(BC). Тогда либо хA, либо хBC. Если хA, то хAB и хAC, т.е. х(AB)(AC). Если же хBC, то хB и хC. Следовательно хAB и хAC, т.е. снова х(AB)(AC). Этим показано включение A(BC)(AB)(AC). Наоборот, если х(AB)(AC), то хAB и хAC. Если хA, то хA(BC). Если же хA, то обязательно хB и хC. Следовательно хBC и хA(BC), что и доказывает утверждение.

Докажем свойство 5'. Из свойства 4 операции включения имеем A. Покажем обратное включение. Предположим противное, что A не включено в . Тогда существует хA, т.е. хA и х, такое, что х. Но здесь написаны две противоречивые принадлежности. Это доказывает, что наше исходное предположение не верно и A. Аналогично показывается и вторая часть рассматриваемого свойства.

В случае, когда все рассматриваемые множества заведомо принадлежат одному и тому же множеству U, это множество называют универсумом.

Операции над множествами, хотя и являются похожими на операции сложения (объединение), вычитания (разность множеств), и умножения (пересечение) над обычными числами, отличны от них по своим свойствам. Так, например, (А-В)В = А верно не всегда (приведите пример).

Другим существенным отличием являются так называемые законы поглощения: для множеств из универсума U справедливы равенства:

1. А(АВ) = А;

2. А(АВ) = А;

3. А(А^СВ) = АВ.

Доказательства этих равенств несложные и опираются на теорему 1. Так первое из них получается из следующих равенств:

А(АВ) = (АU)(AB) = A(UB) = AU = A.

Для множеств из универсума U справедливы следующие два закона де Моргана.

Теорема 2. Справедливы равенства:

(АВ)^С = А^С  В^С и (АВ)^С = А^С  В^С.

Доказательство. Докажем первое из этих равенств. Пусть а(АВ)^С. Тогда аАВ, т.е. аА и аВ. Последнее означает, что аА^С и аВ^С, а значит и аА^С  В^С. Цепочку этих рассуждений легко теперь провести в обратном порядке.

Второе равенство доказывается по аналогии.

На законах де Моргана основан принцип двойственности, играющий важную роль в теории множеств и ее приложениях. Принцип двойственности состоит в следующем: если в некотором равенстве, связывающем подмножества данного универсума, заменить операцию  на , а  на , множество U на , множество  на U, то получим верное равенство. Новое равенство называется двойственным по отношению к заданному.

Примеры. 1) А=А  (А)^С = А^С  А^С^С = А^С  А^С U = А^С. Последнее равенство в силу произвольности А (а следовательно и А^С ) можно переписать ВU = В для любого множества В из U.

2) (задача Льюиса Керролла) В одном жестоком бою из 100 пиратов 70 потеряли ногу, 75 – руку, 80 – глаз, 85 – ухо. Доказать, что как минимум 10 человек потеряли и руку, и ногу, и глаз, и ухо.

Решение. Обозначим через А – множество пиратов, потерявших ногу, В – потерявших руку, С – глаз, Е – ухо. Тогда нам необходимо найти М=АВСЕ (точнее, показать, что там не менее 10 элементов). Рассмотрим М^С = А^С В^С С^С Е^С . По условиям задачи в множестве А^С – 30 элементов, в множестве В^С – 25 элементов, С^С – 20, Е^С – 15 элементов. Таким образом, в множестве М^С не более, чем 30 + 25 + 20 + 15 = 90 элементов. Следовательно, в самом множестве М не менее, чем 10 элементов.

Задачи.

1. Доказать следующие утверждения:

а) из АВ вытекает, что АВ = А и АВ = В;

б) из АВ = А вытекает, что АВ;

в) из АВ = В вытекает, что АВ.

2. Доказать:

а) А(ВС) = (АВ)(АС);

б) А(ВС) = (АВ)(АС).

3. Доказать включения:

а) (АС)(ВD)(АВ)(СD);

б) (В – С) – (В – А)А – С;

в) А – С(А – В)(В – С).

4. Доказать: АВ = (АВ) – (АВ).

5. Верны ли утверждения для любых множеств А, В, С: 1) если АВ и ВС, то АС; 2) если А  В и В  С, то А  С?

6. При каких условиях на А и В выполняется равенство (А – В)В = А.

7. Пусть U={a, b, c, d, e, f} – универсум, A = {a, b, c}, B = {a, c, e, f}, C = {d, e, f}. Найти А – В, В – С, С – В, А – С, А^CВ, ВА^C, АС, СА.

8. Пусть АВ = . Что можно сказать про множества А – В и В – А.

9. Пусть АВ^С = . Что можно сказать про множества АВ и АВ.

10. Доказать равенства:

а) (А – В) – С = (А – С) – (В – С);

б) (А – В)(В – С)(С – А)(АВС) = АВС;

в) А – В = А – (АВ) = (АВ) – В;

г) А – (А – В) = АВ;

д) А – (ВС) = (А – В)(А – С);

е) А – (ВС) = (А – В)(А – С);

ж) (АВ) – С = (А – С)(В – С).

11. Вытекает ли из А – В = С, что А = ВС?

12. Вытекает ли из А = ВС, что А – В = С?

13. Пусть А – заданное множество, про другое множество Х известно, что АХ = А. Доказать, что Х = .

14. Доказать равенства:

а) А(ВD) = (АВ)D;

б) А(ВD) = (АВ)(АD);

в) АА = ;

г) А = А.

15.Доказать следующие тождества:

а) (АВ)(СD) = (АС)(ВС)(АD)(ВD);

б) (АВ)А = (АВ)А = А;

в) А – (В – С) = (А – В)(АС);

г) А(В – С) = (АВ) – (АС) = (АВ) – С;

д) АВ = А(В – А);

е) (А^С)^С = А;

ж) АА^С = U;

з) АА^С = ;

и) [А^СВ]А = АВ;

к) А(В-А) = ;

л) А – (ВС) = (А – В) – С.

16.Доказать, что

а) (АВ)С = А(ВС)  АС;

б) А = В  АВ = ;

в) АВ = А В  А = В;

г) (АВ) – В = А  АВ = ;

д) (А – В)В = А  ВА;

е) (АВ)С = А(ВС)  СА;

ж) АВ  АСВС;

з) АВ  АСВС;

и) АВ  (С-В) (С-А);

к) АВ  В^СА^С;

л) А = В^С  АВ= и АВ = U.

17.Доказать тождества:

а) АВ = АВ(АВ);

б) А – В = А – (АВ);

в) А = А;

г) А – А = ;

д) AU = A^C;

е) АВ = (АВ) – (АВ);

18. Пусть A  U, B  U. Доказать:

а) A – B = A  B^C;

б) AB = (A  B^C)  (A^C  B).

19. Решить систему уравнений

а)

где А, В, С – данные множества и В  А  С.

б)

где А, В, С – данные множества и В  А , АС = .

в)

где А, В, С – данные множества и В  А  С.

20. Определить операции , , \ через:

а)  и ;

б)  и ;

а) \ и .

21. Доказать, что для любых множеств E, F, G, H справедливы

включения:

а) E(FG)  (EF)(EG);

б) E (F – G)  (FE) – (GE);

в) (EF)(GH)  (EG)(FH);

г) (EF)-(GH)  [E(F-H)][(E-G)(FH)];

д) E(FG)  (EF)(EG);

е) (FE)(GH)  (GE)(FH).

22. Справедливо ли равенство

(АВ)(СD) = (АС)(ВD)?

23. Справедливо ли равенство

(АВ)(СD) = (АС)(ВD)?