§ 5. Мощность множеств. Конечные множества

Определение. Если для двух множеств А и В существует биекция А на В, то говорят что они имеют равную мощность. Если же существует инъекция множества А на В и не существует биекции между ними, то говорят, что мощность множества А меньше мощности множества В.

Первый зародыш общего понятия равномощности появляется у Галилея, заметившего, что отображение n  n² устанавливает биекцию между натуральными числами и их квадратами. Этот пример был приведен Галилеем в качестве контрпримера к “аксиоме”: “целое больше части”. Понятие равномощных множеств было введено Больцано.

Мощность множества А мы будем обозначать card(A). По определению, если множества А и В равномощны, то пишут card(A) = card(B). Если же мощность множества А меньше мощности В, то соответственно пишут card(A)<card(B). В этом случае, согласно определению, множество А равномощно некоторой части множества В.

Если рассмотреть отношение “иметь равную мощность” на множестве всех множеств, то нетрудно проверить, что оно является отношением эквивалентности.

Два конечных множества являются равномощными только в том случае, когда они имеют одинаковое количество элементов.

В случае, когда в конечном множестве А содержится n элементов, говорят, что его мощность равна n и пишут card(А)=n.

Теорема 1. Для конечных множеств справедливы равенства:

а) если АВ=, то card(АВ) = card(A)+card(B);

б) если АВ, то card(АВ) = card(A)+card(B)-card(AB).

Доказательство. Осуществляется прямым счетом элементов множества АВ. В случае а) из хАВ  либо хА и хВ, либо хА и хВ. Из этого уже следует утверждаемое. В случае же б) множество АВ можно разбить на следующие части: элементы хА и хВ, элементы хВ и хА и, наконец элементы хА и хВ.

Следствие. Если АВ, то card(B-A) = card(B)-card(A).

Теорема 2. Для конечных множеств справедливо равенство

card(AB) = card(A)card(B).

Доказательство. Пусть А={а₁, а₂, ..., а_n} и В={в₁, в₂, ..., в_m}. Тогда АВ= {(а_i, в_j): i=1, 2,..., n; j=1, 2,..., m}= {(а₁, в₁), (а₁, в₂), ..., (а₁, в_m)}{(а₂, в₁), (а₂, в₂), ..., (а₂, в_m)}.....{(а_n, в₁), (а_n, в₂),..., (а_n, в_m)}. Каждое из множеств, входящих в выписанное объединение, не пересекается с остальными и содержит точно m элементов. Всего множеств в объединении n штук. По предыдущей теореме получаем необходимое равенство.

Следствие. Справедливо равенство card(Aⁿ) = (card(A))ⁿ .

Задача. Известно, что из 100 студентов живописью увлекается 28 человек, спортом - 42 человека, музыкой - 30, живописью и спортом - 10, живописью и музыкой - 8, спортом и музыкой - 5, живописью, спортом и музыкой - 3. Найти количество студентов, занимающихся только спортом; не увлекающихся ничем.

Решение. Обозначим первой большой буквой множество студентов, увлекающихся тем или иным видом (например, Ж – множество студентов, увлекающихся живописью). Множество всех студентов обозначим через U. Тогда нас интересует card(С – (ЖМ)) и card(U –(ЖМС)). Из теоремы 1 и ее следствия, свойств операций над множествами имеем:

card(С – (ЖМ)) = card(С – ((ЖМ)С))) =

= card(С) –card((ЖС)(МС)) =

= card(С) – (card(ЖС) + card(МС) – card(ЖМС)) =

= 42 – (10 + 5 – 3) = 30.

card(U – (ЖМС)) = card(U) – card(ЖМС) =

= 100 – (card(ЖМ) + card(С) – card((ЖМ)С) =

= 100 – (card(Ж) + card(М) – card(ЖМ) + 42 card((ЖС)(МС))) =

= 100 –(28 + 30 – 8 + 42 – (card(ЖС) + card(МС) – card(ЖМС))) =

= 100 – (92 – (10 +5 – 3)) = 100 – (92 – 12) = 20.

Теорема 3. Если card(А) = n, то card(b(А)) = 2ⁿ.

Доказательство. Рассмотрим множество

Еⁿ ={(v₁, v₂, ..., v_n):  v_k Е },

где Е - множество, содержащее 2 элемента: 0 и 1. Из следствия теоремы 2 вытекает, что card (Eⁿ) = (card(E))ⁿ = 2ⁿ. Покажем, что множества Eⁿ и b(А) равномощны. Пусть множество А = {а₁, а₂, ..., а_n} и В некоторое подмножество А. Поставим в соответствие множеству В элемент (v₁, v₂, ..., v_n), полагая

Несложно проверить, что данная функция является инъекцией и сюръекцией множества b(А) на множество Е . Таким образом, card(b(A)) = 2ⁿ.

Задачи.

1. Можно ли сказать, что если А = В, то А и В равномощны, и наоборот, если А и В равномощны, то А=В?

4. Доказать, что для любых трех конечных множества А, В, С справедливо равенство, называемое формулой включения и исключения:

card(ABC) = card(A)+card(B)+card(C) – card(AB) – card(AC) – card(BC) +card(ABC).