§ 3. Произведение множеств. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности.

Определение. Пусть А и В - множества. Произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а, в), где аА и вВ. Произведение обозначается АВ.

АВ={(a,b):aA и bB}.

Произведение двух множеств часто называют прямым или декартовым произведением. Заметим, что произведение n штук одного и того же множества А обозначается через Аⁿ .

Примеры.1) Если А = {a,b},B= {0, 1},C=, то

АВ = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), b, 1)},

BA = {(0, a) (0, b), (1, a), (1, b)},

AC=CA=.

2) Пусть R– множество действительных чисел. ТогдаR² – множество, которое обычно изображается в виде плоскости, а элементы изR²называются точками плоскости.

3) Пусть [a,b], [c,d] – отрезки прямой. Тогда [a,b][c,d] – прямоугольник на плоскости.

Определение. Бинарным отношением (или просто отношением) в АВ называется любое подмножество множества АВ.

Примеры. 1) Пусть А = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Тогда AB = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7)}.

2) Возьмем S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6)}. Ясно, что SAB, т.е. S является бинарным отношением в AB. Это отношение может быть охарактеризовано следующей формой

S = {(x,y)AB: xA является делителем yB}.

3) Пусть А некоторое множество, а b(А) множество всех его подмножеств. Множество b(А) называется булеаном. Пусть W отношение в b(А)  b(А), задаваемое формой:

W = {(B, C)b(A)b(A): BC}.

Тогда W является отношением включения множеств.

Если S является некоторым отношением и (x, y)S, то мы будем писать xSy и говорить, что x находится в отношении S с y.

Если S является отношением в АА, то говорят, что S является отношением в А.

Пусть S некоторое отношение в АВ. Введем два множества:

D_S = {aA: bB: (a,b)S},

R_S = {bB: aA: (a,b)S}.

Множество D_S называется областью определения отношения, а множество R_S – областью значений. Если D_S = A, то такое отношение называют всюду определенным, а если R_S = B – сюръективным. Когда отношение одновременно является сюръективным и всюду определенным, то говорят, что S отношение на АВ (соответственно на А, если В=А).

Отношение S называется инъективным, если из (a, b)S и (c, b)S следует, что а = с. Если отношение S является всюду определенным, инъективным и сюрьективным, то его называют биективным .

Иногда отношения называются соответствием между элементами множества А и В.

Пусть S некоторое отношение в АВ. Введем отношение S^-1 следующим образом: (у, х) S^-1  (х, у) S. Отношение S^-1 назовем обратным отношением.

Определение. Отношение S на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) аSа для аА (рефлексивность);

2) если аSв, то вSа (симметричность);

3) если аSв и вSс, то аSс (транзитивность).

В дальнейшем отношение эквивалентности будем обозначать значком .

Определение. Пусть задано отношение эквивалентности на А. Множество ХА называется классом эквивалентности для этого отношения, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) для любых хХ и уХ выполняется х  у;

2) если хХ , уА и х  у, то уХ.

Пусть на А задано отношение эквивалентности. Введем следующее обозначение:

[x] = {yA: x  y}.

Нетрудно видеть из определений, что [x] является классом эквивалентности. Его называют классом эквивалентности, порожденным элементом х.

Лемма 1. Для классов эквивалентности [x] и [y] возможны только следующие два случая:

1) [x] = [y];

2) [x][y] = .

Доказательство. Предположим, что [x][y] и а[x][y]. Тогда x  a и y  a. Покажем, что в этом случае один класс эквивалентности содержится в другом, а так как они равнозначны, то будет доказано равенство этих классов.

Пусть в[x]. Тогда х  в, а  х, следовательно в  а. Но а  y, значит в  y и в[y], т.е. [x][y].

Пусть некоторое множество А представимо в виде:

А = _ А , где А_ А_ =  , если   .

В этом случае говорят, что {A_} задает разбиение А. Из доказанной леммы вытекает, что классы эквивалентности задают разбиение на А. Оказывается, верно и обратное.

Лемма 2. Если {A_} - некоторое разбиение множества А, то отношение S, определяемое следующим условием: аSв   : аА_ и вА_, является отношением эквивалентности.

Доказательство. По существу, в доказательстве нуждается лишь третье свойство эквивалентности. Пусть аSв и вSс. Тогда из задания отношения S вытекает следующее:  : аА_ и вА_ , а также  : вА_ и сА_ . Тогда вА_  А_ и из свойств разбиения следует, что А_ = А_ или  = , следовательно, аА_ и сА_ . Это доказывает, что аSс и отношение S является отношением эквивалентности.

Теорема. Пусть S - некоторое отношение эквивалентности на А. Пусть {А_} - разбиение множества А, порожденное этим отношением (лемма 1). Пусть Т - отношение эквивалентности, порожденное разбиением {А_} (лемма 2). Тогда S=T.

Доказательство. Для доказательства напомним, что S и T являются подмножеством АА и их равенство понимается как равенство множеств. Пусть (а,в)S, т.е. аSв. Тогда а и в из одного класса эквивалентности, т.е.  : аА_ и вА_. Это означает, что (а,в)T и ST. Аналогично показывается обратное включение.

Задачи.

1. Доказать, что существуют А, В и С такие, что

а) АВ  ВА;

б) А(ВС)  (АВ) С.

2. Доказать, что если А, В, С и D не пусты, то

а) АВ и СD  АСВD;

б) А=В и С=D  AC = BD.

3. Доказать, что

а)(АВ)(СD) = (АС)(ВD);

б)(АВ)(CD) (AC)(BD);

в)(АВ)С=(АС)(ВС);

г)А(ВС)=(АВ)(АС);

д)(АВ)(CD)=(AC)(BC)(AD)(BD);

е)(А-В)С=(АС)-(ВС);

ж)А(В-С)=(АВ)-(АС);-

з)АВ=(AD)(CB), где АС и BD.

4. Найти область определения и область значений для отношений:

а) R={(x,y): x, yN и x делит y};

б) R={(x,y): x, yN и y делит x};

в) R={(x,y): x, yR и x+y 0};

г) R={(x,y): x,yR и 2x>3y}.

5. Пусть R, S, T - некоторые отношения. Проверить справедливость равенств:

а) Ro(SoT) = (RoS)oT;

б) (R^-1)^-1 = R;

в) (RoS)^-1 = S^-1oR^-1.

6. Пусть на множестве А заданы отношения R₁ и R₂. Доказать:

а) если отношения R₁ и R₂ рефлексивны, то рефлексивны отношения R₁R₂, R₁R₂, R₁^-1, R₁oR₂;

б) если отношения R₁ и R₂ иррефлексивны (т.е. для  х А не выполняется хRх), то иррефлексивны R₁ R₂, R₁R₂, R₁^-1, суперпозиция R₁оR₂ может быть иррефлексивной;

в) если отношения R₁ и R₂ симметричны, то симметричны отношения R₁R₂, R₁R₂, R₁^-1, R₁oR₂^-1;

г) отношение R₁oR₂, где R₁ и R₂ симметричны, симметрично тогда и только тогда, когда R₁oR₂ = R₂oR₁;

д) если отношения R₁ и R₂ антисимметричны, то антисимметричны R₁R₂, R₁^-1.

7. Пусть А - конечное множество, n - число его элементов. Доказать, что число подмножеств множества А, состоящих из m элементов, где 0 m n, равно

8. Пусть r - отношение, обладающее свойством рефлексивности и транзитивности в множестве А. Определим для а, bА отношение R, полагая аRb, если аrb и brа.

а) Доказать, что R есть отношение эквивалентности на А.

в) Доказать, что если аRа', bRb' и аrb, то а'rb'.

9. Во множестве Z⁺Z⁺ положим по определению (а, b)r(с, d), если а+d=b+с. Доказать, что r является отношением эквивалентности на данном множестве.

«Понятие функции такое же основное, как и понятие множества» Хаусдорф