24. Дисперсия случайных величин. Свойства дисперсии. Примеры.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

25. Ковариация. Свойства.

Мы знаем, что для независимых случайных величин с конечными вторыми моментами дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. В общем случае, согласно следствию 16, дисперсия суммы равна

(19)

Величина равняется нулю, если случайные величины и  независимы (свойство (E7) математического ожидания). С другой стороны, из равенства её нулю вовсе не следует независимость, как показывают примеры 34 и 35. Эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» между двумя случайными величинами.

Определение. Ковариацией случайных величин и называется число

26. Коэффициент корреляции. Свойства.

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число

Замечание. Чтобы разглядеть «устройство» коэффициента корреляции, распишем по определению числитель и знаменатель:

Коэффициент корреляции обладает свойствами:

1) если и независимы, то ;

2) всегда ;

3) тогда и только тогда, когда и п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа и такие, что .

27. Двумерное нормальное распределение и его параметры.

Двумерный случайный вектор имеет нормальное распределение, если его плотность равна

где

— вектор математических ожиданий,

— ковариационная матрица.

Плотность двумерного нормального распределения записывается также в виде

где

— определитель ковариационной матрицы,

— коэффициент корреляции случайных величин и .

28. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

Теорема (неравенство Маркова). Если , то для любого

Доказательство. Нам потребуется следующее понятие.

Определение. Пусть — некоторое событие. Назовём индикатором события случайную величину , равную единице, если событие произошло, и нулю, если не произошло.

По определению, величина имеет распределение Бернулли с параметром , и её математическое ожидание равно вероятности успеха . Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством . Поэтому

Тогда

(21)

Осталось разделить обе части неравенства (21) на положительное .

Следующее неравенство мы будем называть обобщённым неравенством Чебышёва.

Следствие (обобщённое неравенство Чебышёва). Пусть функция не убывает и неотрицательна на  . Если , то для любого

Доказательство. Заметим, что , поскольку функция не убывает. Оценим последнюю вероятность согласно неравенству Маркова, которое можно применять в силу неотрицательности  :

29. Сходимость по вероятности последовательности случайных величин. Свойства сходимости по вероятности.

Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине при , и пишут , если для любого

Пример. Рассмотрим последовательность , в которой все величины имеют разные распределения: величина принимает значения и с вероятностями . Докажем, что эта последовательность сходится по вероятности к нулю.

Зафиксируем произвольное . Для всех начиная с некоторого такого, что , верно равенство . Поэтому

Итак, случайные величины с ростом могут принимать все большие и большие значения, но со все меньшей и меньшей вероятностью.

Например, последовательность можно задать на вероятностном пространстве так: положим для и для .

Свойства: ( и )

1. ;

2. .

3. Если и — непрерывная функция, то .

4. Если и непрерывна в точке , то .