11)Размерность и базис линейного пространства, координаты вектора
Пусть X — линейное пространство.
Определение. Если сущ/ натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dimXn — размерность пространства Xn .
Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.
Замечания.1)Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.2)Если в линейном пространстве сущ/любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.
1
2)
13) Скалярным произведением (ā,b) двух векторов а и b наз. число, равное произведению длины этих векторов на косинус угла ȹ между ними:
(ā,b)= ā*b= │ ā ││b│cos ȹ.
Эвклидово
пространство- Действительное
линейное пространство E называется
евклидовым, если каждой паре векторов
сопоставляется число
так,
что
и
выполняются
аксиомы:
14.Пусть плоскость q проходит через точку м0 (x0 ,y0 ,z0 ) перпендикулярно вектору
n =(А,В,С). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Оxyz.Вектор n называется нормальным вектором плоскости Q. Возьмём в плоскости Q произвольную точку М(x ,y ,z ). Тогда вектор М0М =(x-x0,y-y0, z-z0) ,будет перпендикулярен вектору n=(А,В,С). Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. (n, М0М)=0
Представим уравнение плоскости ,перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку М0 (x0 ,y0 ,z0 )
А(x-x0)+В(y-y0)+С(z-z0)= 0
Уравнение плоскости,записанное в виде
Ax + By + Cz + D=0 ,где D= -Ax0 -By 0-Cz 0 ,называется общим уравнением плоскости.
15) Угол между плоскостями
Пусть
плоскости
и
заданы
соответственно уравнениями
и
.
Требуется найти угол
между
этими плоскостями.
П
лоскости,
пересекаясь, образуют четыре двугранных
угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или
четыре прямых, причем оба тупых угла
равны между собой, и оба острых тоже
равны между собой. Мы всегда будем искать
острый угол. Для определения его величины
возьмем точку
на
линии пересечения плоскостей и в этой
точке в каждой из плоскостей проведем
перпендикуляры
и
к
линии пересечения. Нарисуем также
нормальные векторы
и
плоскостей
и
с
началами в точке
Рис.11.6.Угол между плоскостями
Если
через точку
провести
плоскость
,
перпендикулярную линии пересечения
плоскостей
и
,
то прямые
и
и
изображения векторов
и
будут
лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж
в плоскости
(возможны
два варианта: рис. 11.7 и 11.8).
Р
ис.11.7.Угол
между нормальными векторами острый
Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой
В
одном варианте (рис. 11.7)
и
,
следовательно, угол
между
нормальными векторами равен углу
,
являющемуся линейным углом острого
двугранного угла между плоскостями
и
.Во
втором варианте (рис. 11.8)
,
а угол
между
нормальными векторами равен
.
Так как
то
в обоих случаях
.По
определению скалярного произведения
.
Откуда
и
соответственно
Так
как координаты нормальных векторов
известны, если заданы уравнения
плоскостей, то полученная формула
позволяет найти косинус острого угла
между плоскостями. Если
плоскости перпендикулярны, то
перпендикулярны и их нормальные векторы.
Получаем
условие
перпендикулярности плоскостей:
Если
плоскости параллельны, то коллинеарны
их нормальные векторы. Получаем
условие
параллельности плоскостей
где
--
любое число.
16)Ур/ прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1)наз. равенство:
Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.
Если прямые заданы след. урав:A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0
тогда направляющие векторы этих прямых будут равны: a1 = (- B1 ; A1) и a2 = (- B2 ; A2)
Воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:
из этой формулы получим:
Выразим угол φ :
Из последней формулы получим:
Если прямые параллельны, то k1=k2 и b1≠b2
Если прямые перпендикулярны, то k1*k2=-1
Если прямые пересекаются, то k1≠k2
Если прямые совпадают, то k1=k2 и b1=b2