44.Условия постоянства функции

Условия монотонность функции:

Монотонно возврастающая функ. если: f( )<f( ;x₁<x₂

Монотонно не убывающая функ. если: f( )≤f( ;x₁≤x₂

Монотонно убывающая функ. если: f( )>f( ;x₁>x₂

45.Экстремумы функции

X₀ – наз. точкой максимума функ. f(x), если сущ. α-окрестность х₀ так, что значение f(x) в любой точке f(x)≤f(x₀), х€ (x₀-α;x₀+α). Точка х₀ наз. точкой минимума функ. f(x),если сущ. α-окрестность х₀ так, что значение f(x) в любой точке f(x)≥ f(x₀), x€ (x₀- α;x₀ +α)

Точки максимума и минимума наз. экстремумами функ.

Необходимое условие сущ. экстремума. Если функ. f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ явл.точкой экстремума, то производная функ. обращается в нуль в этой точке.

Достаточное условие экстремума

Первое достаточное условие экстремума

Пусть х₀ – точка максимума, т.е. f’(x₀)=0

Если f’ при переходе точки х₀ меняет знак от + к -, то это точка максимума, если от – к +, то это точка минимума

Если f’ не меняет знак при переходе через х₀, то это точка перегиба

Второе достаточное условие экстремума

Пусть y=f(x)

X₀, f’(x₀)=0 (т.е. выполняется необходимое условие экстремума)

Если f’’(x₀)>0,x₀ – точка min

f’’(x₀)<0,x₀ – точка max

46.)Условие выпуклости и вогнутости функции. Точка перегиба.

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – наз. вогнутой. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Если график функ.находится выше касательной, то график такой ф-ции наз. вогнутым, если график ф-ции ниже касательной - то выпуклой.

Если f’’(x)>0, x€ (a,b), то ф-ции вогнутая

Если f’’(x)<0, x€ (a,b), то ф-ции выпуклая

Если f’’(x)=0, x€ (a,b), то х – точка перегиба, т.е. при переходе через х ф-ция меняет выпуклость

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, наз. точкой перегиба.

В точке перегиба касательная пересекает кривую.

Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не сущ. и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а явл. точкой перегиба.

47).Асимптоты.

Прямая наз. асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.Асимптоты могут быть прямые и наклонные.

Кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Наклонные асимптоты. . прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

.

Построение графиков ф-ции

1. Находим область допустимых значений 2. Находим стационарные точки (f’=0) 3. Находим область монотонность (возрастания и убывания) 4. Находим точки максимума и минимума