52)Первоообразная функции и неопределённый интеграл
Пусть
функ. f(х)
определена не некотором интервале
(а,b).Тогда
функция F(x)
наз.первообразной для функции f(х)
на интервале (а,b),если
F’(x)
для всех х
(а,b)
Совок.
всех первообразных для функ. f(x)
наз.неопределённым интегралом от функ.
f(x).Знак
наз.интегралом,функция
f(x)-подынтегральной
функціей,а f(x)dx-подынтегральным
выражением.Операция нахождения
неопределённого интеграла от данной
функ. наз.интегрированием этой функции.
Свойства неопределённого интеграла
1)
=F(x)+C
2)d
=f(x)dx
3)
4)
5)Если
F(ax+b)+с
53)Метод замены переменной
Если
нахождение интеграла
затруднительно,то
пользуются методом подстановки или
методом замены переменной.При применении
этого метода используют подстановки
двух видов:1) x=
(t),где
х=
(t)-монотонная
непрерывно дифференцируемая фун.новой
переменной t.В
этом случае
2)u=
,где
u-новая
переменная.Формула замены переменной
при такой подстановке :
(
.
Интегрирование по частям
Пусть
функ. u(x)
и v(x)
непрерывны вместе со своими производными
на множестве X
и на этом множестве сущ.интеграл
.Тогда
на этом множестве сущ. интеграл
и справедлива формула интегрирования
по частям
Для
интегралов вида
dx,
,
,где
Q(x)-многочлен,в
качестве u
следует брать Q(x),а
в качестве dv
–выражение
dx
.
В
случае интегралов вида
в
качестве u
берут функ.lnx,arcsinx,
arccosx,
arctgx,
arcctgx,а
в качестве dv-выражение
Q(x)dx
54) Таблица неопределённых интегралов
1)
dx=
+c
2)
+c;
+c
2) 3)
=ln
=tgx+c
7)
8)
=
arcctg
12)
13)
55)Интегрирование простейших рац. Дробей
Целой рац. Функ. аргумента х наз. многочлен, в кот. переменная х только в целых степенях (в том числе х =1).anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0. Дробной рац. Функ. аргумента х наз. отношение целых рац.функ.. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь наз. правильной. В противном случае - неправильной.
Алгоритм:
1. Если дробь неправильная - выделить целую часть. Получим интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильной дроби;2. Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или отличается от него постоянным множителем), то использовать замену переменной z=знаменатель;3. Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то использовать замену переменной z=знаменатель;4 В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших
56)Интегрирование рациональных дробей
Функ.
вида R(x)=
,где
-многочлены
соответственно степени m
и n,наз.рациональной
функ.Интегрирование рац.функ. с помощью
метода разложения на простейшие дроби
сводится к интегрированию многочленов
и простейших рациональных функ.след.4-х
видов:1)
;
2)
Алгоритм интегрирования рац.функций
1)Если
рац.дробь неправильная,то путём деления
числителя на знаменатель по правилу
деления многочленов следует выделить
целую часть и представить дробь в виде
2)Разложить
знаменатель
на множитель вида
3)Разложить
правильную дробь
на сумму простейших дробей:
=
+….
+
4)Найти неизвестные коэффициенты в разложении(предыдущий)
5)Почленно проинтегрировать каждую простейшую дробь
Интегрирование иррациональных функций
1)Интеграл
вида
подстановкой
приводится
к интегралу от рациональной функции t
2) Интеграл вида
рационализируется с помощью подстановки
