Численное дифференцирование. Вычисление первой и второй производной, оценки погрешности.
Применяется, когда функцию невозможно продифференцировать аналитически. Например, функция задана таблицей. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке вычислительных методов решения различных задач.
Исходя из определения
первой производной:
- левая разностная
производная
- правая разностная
производная
- центральная
разностная производная
- погрешность
аппроксимации (1-й порядок точности)
- погрешность
аппроксимации (2-й порядок точности)
Вывод погрешности:
по формуле Тейлора:
- некоторые точки,
расположенные на интервалах (x,
x+h)
и (x-h,
x)
соответственно.
Подставляя
разложения в
,
получаем:
.
Для центральной разностной производной надо разложить в ряд до 3-й производной.
,
- интерполирование
вперёд.
- интерполирование
назад.
Используя 3 узла интерполяции, возьмём многочлен 2-й степени от x:
Подставляя в первую
производную
,
можно получить формулы второго порядка
точности для вычисления 1-й производной.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка: постановка задачи, её разрешимость, устойчивость на конечном отрезке.
Часто приходится иметь дело с процессами, характеристики которых непрерывным образом меняются со временем t. Соответствующие явления подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений. Задача Коши (начальная задача) – описывает развитие процессов во времени. Начальные условия считаются известными.
Постановка задачи: требуется найти функцию y(t), при t>t0, дифф. ур-я первого порядка, графиком которой будет являться интегральная кривая.
Разрешимость
задачи Коши: Пусть ПТ
– множество точек (t,y),
удовлетворяющих условию
,
;
это множество будем называть полосой.
Теорема:
Пусть функция f(t,y)
определена и непрерывна в полосе ПТ.
Предположим, что она удовлетворяет
условию Липшица
для всех
и произвольных
,
где L
– некоторая постоянная (постоянная
Липшица).
Тогда для каждого начального значения y0 существует единственное решение y(t) задачи Коши, определённое на отрезке [t0,T].
Замечание: для
дифференцируемых по y
функций f
условие Липшица выполняется тогда и
только тогда, когда для всех
справедливо равенство:
.
Теорема: Пусть функция f непрерывно дифференцируема m раз в полосе ПТ. Тогда если функция y является на отрезке [t0,T] решением задачи Коши, то она непрерывно дифференцируема m+1 раз на этом отрезке.
Устойчивость на
конечном отрезке: Пусть
- возмущённое начальное значение,
- его погрешность, а
- решение задачи Коши:
Вычтем из обычного
уравнения возмущённое, и воспользуемся
формулой конечных приращений Лагранжа:
,
,
где
- некоторое промежуточное между
и
значение.
Получим, что
погрешность
удовлетворяет
и
.
Решение выражается
формулой:
.
Т.о. величина
играет в задаче Коши роль коэффициента
роста погрешности.
- окажется
ограниченным, если задача решается на
конечном отрезке [t0,T].
для всех
,
где
при
справедлива оценка:
Выражающая устойчивость на конечном отрезке [t0,T].