- •Численное интегрирование: вывод формулы прямоугольников и оценки погрешности.
- •Численное интегрирование: вывод формулы трапеций и оценки погрешности.
- •Численное интегрирование: формула Симпсона и оценка погрешности.
- •Правило Рунге оценки погрешностей. Уточнение по Рунге.
- •Численное дифференцирование. Вычисление первой и второй производной, оценки погрешности.
- •Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка: постановка задачи, её разрешимость, устойчивость на конечном отрезке.
- •Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка: устойчивость по правой части и на неограниченном промежутке.
- •Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения: дискретная задача Коши, явные и неявные методы, устойчивость, аппроксимация, сходимость.
- •Численные методы решения задачи Коши. Метод разложения в ряд Тейлора.
- •Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера, его геометрическая интерпретация, оценка погрешности метода Эйлера.
- •13.Численные методы решения задачи Коши: модификации метода Эйлера второго порядка точности, геометрическая интерпретация, оценка погрешности методов.
- •14. Численные методы решения задачи Коши: методы Рунге–Кутты. Идея построения расчетных формул. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности.
- •16. Явные одношаговые методы. Локальная и глобальная погрешности. Оценка погрешности по правилу Рунге.
- •17. Аппроксимация, устойчивость и сходимость явных методов решения задачи Коши.
- •15. Сходимость метода Эйлера.
- •18. Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.
- •19.Решение задачи Коши для уравнения m-го порядка.
- •20. Многошаговые методы. Вывод формул явного метода Адамса-Башфорта. Порядок аппроксимации метода.
- •21. Многошаговые методы. Вывод формул неявного метода Адамса-Моултона. Порядок аппроксимации метода.
- •22. Устойчивость численных методов. Понятие нуль-устойчивости.
- •23. Жесткие задачи: понятие о жестких задачах, жесткие системы дифференциальных уравнений. Методы их решения.
- •24. Постановка двухточечной краевой задачи. Основные теоремы (без доказательств) о разрешимости и устойчивости дифференциальной задачи.
- •25. Дискретная двухточечная краевая задача. Теорема о существовании решения разностной схемы.
- •26. Дискретная двухточечная краевая задача. Априорная оценка решения разностной схемы (без доказательства).
- •27. Дискретная двухточечная краевая задача. Устойчивость разностной схемы.
- •28. Дискретная двухточечная краевая задача. Аппроксимация и сходимость разностной схемы.
- •29. Решение сеточных уравнений методом прогонки. Правило Рунге оценки погрешности.
- •30. Применение метода конечных разностей при решении двухточечной краевой задачи в случае переменного коэффициента теплопроводности.
- •31. Метод баланса построения разностных схем для решения двухточечной краевой задачи.
- •32. Метод конечных разностей решения первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: построение явной схемы и оценка погрешности.
- •33. Метод конечных разностей решения первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: условная устойчивость явной схемы.
- •34. Метод конечных разностей решения первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: неявная схема, абсолютная устойчивость неявной схемы.
- •35.Метод переменных направлений решения двумерной начально-краевой задачи для уравнений теплопроводности.
- •40. Метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Итерационные методы решения сеточных уравнений: метод Зейделя.
40. Метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Итерационные методы решения сеточных уравнений: метод Зейделя.
Задача Дирихле для уравнения Пуассона определяется, как задача нахождения , удовлетворяющей в области определения D уравнению:
и (f и g задаются в задаче). Подобная модель может применяться для описания установившегося течения жидкости, стационарных тепловых полей, процессов теплопередачи с внутренними источниками тепла и деформации упругих пластин.
Одним из наиболее распространенных подходов к численному решению дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (метод сеток). Следуя этому подходу, область решения D можно представить в виде дискретного (как правило, равномерного) набора (сетки) точек (узлов). Так, например, прямоугольная сетка в области D может быть задана в виде пятиточечного шаблона.
Разностная схема выглядит следующим образом:
Разностное уравнение-аппроксимация исходного дифференциального уравнения:
Метод Зейделя:
.