2.4. Матричная передаточная функция.

Преобразуя по Лапласу матричное уравнение

при нулевых начальных условиях (все х₀ = 0), получаем операторное уравнение

Из него находим:

Преобразуем по Лапласу уравнение выхода Y = CX в Y(p) = CX(p). Заменим X(p) в формуле (2.9):

Передаточная функция есть отношение изображения выходной величины Y(p) к изображению управляющего воздействия U(p) :

(далее матричную передаточную функцию будем подчеркивать)

Выражение (2.10) есть матричная передаточная функция. Она имеет размерность mm .

где W_ij(p) = Y_i(p) / U_j(p) передаточные функции по каналам действия;

Пример. Объект описывается системой уравнений состояния

Записать матричную передаточную функцию.

Выписываем матрицы:

Размеры матриц:

dim A = 22 , dim B = 22 , dim X = 22 , dim C = 12 , dim Y = 11 .

Матричная передаточная функция

Надо найти матрицу, обратную матрице

dim [pE  A] = 22 .

Определитель

Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

A₁₁ = p + 1 , A₂₁ = 0,5 ,

A₁₂ = 0,5 , A₂₂ = p + 0,6 .

Обратная матрица

Ее размер 22.

Вводим значение матриц в матричную передаточную функцию:

Последовательно перемножаем:

dim

Получилась матрица-строка. Сравнивая с общим выражением

Получаем передаточные функции по каналам действия x₁ и x₂ :

2.5. Решение неоднородного матричного уравнения.

Рассмотрим систему уравнений в матричной форме. Метод поиска решений тот же, что и для -дифференциального уравнения первого порядка.

Записываем матричное уравнение для неоднородной системы

.

X  матрица неизвестных переменных, dim n1, - известная функция времени, А, В – матрицы.

, .

Сначала рассмотрим однородное матричное уравнение

.

Оно имеет n линейно независимых решений вида:

(2.11)

Из экспонент можно составить матрицу

.

Она называется фундаментальной матрицей решения системы. Так как столбцы матрицы являются решениями однородного уравнения, то она удовлетворяет матричному уравнению

, dim . (2.12)

Фундаментальная матрица обладает следующими свойствами:

,

,

.

Решением уравнения (2.12) является матричная экспонента

. (2.13)

Она называется переходной матрицей состояний. Имеет размер .

Решение (2.13) можно записать подробнее:

.

Матричной экспонентой (матричным экспоненциалом) называется матрица той же размерности, что и основная матрица А и определяется соотношением

где Е  единичная матрица.

Матричные экспоненты от At или A(t – t₀) определяются аналогично:

Для матричной экспоненты справедливы равенства:

Правило дифференцирования матричной экспоненты такой же, как и обычной экспоненты e^t:

, , …

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

, (2.14)

где матрица - функция времени.

Дифференцируем:

.

Заменим производную dX/dt в уравнении (2.6) и с учетом (2.14) получим

.

Проинтегрируем:

. (2.15)

Из (2.14) C(t) = Ф^-1(t, t₀) X(t) . Заменяя С(t) в уравнении (2.15), получаем:

(2.16)

Полученная формула есть решение неоднородного матричного уравнения (2.6).

Первое слагаемое в правой части (2.16) описывает свободное движение системы, второе - вынужденное.

Упражнение

Получить формулу решения матричного уравнения при нулевых начальных условиях.

Условия: , x_i = 0 , Х (0) = 0 .

В уравнении

полагаем

.

Применяем метод вариации постоянной:

.

С другой стороны

Сравнивая, получаем

Интегрируем:

Для нулевых начальных условий X(0)=0, поэтому С(0) = 0 .

Остается:

Но . Заменяя, приходим к решению

Или

поскольку .