7. Условия существования двойного интеграла

Так как область интегрирования производится произвольным выбором точек , то считается что все площади одинаковы.

Достаточные условия существования двойного интеграла

Т.: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области , то существует.

Т.: Если функция f(x,y)ограниченна в замкнутой области и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно гладкой линии, то двойной интерграл существует.

Свойства:

1. 

2. 

3. Если и следовательно

4. Теорема о среднем:

Двойной интеграл от функции f(x,y) равен произведению значений этой функции в некоторой точке области в области интегрирования на интеграл принадлежащий этой области

5.Если f(x;y)

6.Если f₁ f₂ то

7.| |

Если функция f(x,y) непрерывна в области ,ограниченной линиями x=a,x=b при a ,y=

Y= где и непрерывные функции.

Если функция непрерывна в замкнутой области ,ограничена линиями y=c,y=d (c

X=Ф(y),x = (Ф(y)

8. Вычисление двойного интеграла

Т.: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области ограниченная двумя линиями x=a , x=b, a<b, y= , y= , где непрерывны и .

Т.: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области граниченная линиями y=c, y=d , c<d , x= (y), x= (y)

Замена переменных в двойном интеграле

Двойной интеграл вида , где x , а y

X=f(u, v), y= тогда и

Так как при первом интегрировании x применяется за const dx=0

du= -

dy = - +

Определитель Якоби

= dv

При первом интегрировании выражение для dx примет вид, предполагая, что

v=const dv=0 , dx = du при изменении порядка интегрирования, получим =

9.Определние. Замена переменных в тройном интеграле.

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V  на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

Пример:

Сделаем замену:

      

Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами

      

Вычисляя якобиан, получаем:

10. Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат.

Цилиндрическая система координат.

Сферическая система координат

11.Свойства рядов

Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1,u2,…..un – называется числовым рядом и обозначается

Суммы –называются частными суммами ряда

Если ряд сходятся ,то , S=

Если последние части сумм ряда расходятся, т.е не имеет предел или он бесконечен, то ряд называется расходящимся и ему не ставят соответственно никакой суммы

Свойства рядов:

1)сходимость или расходимость ряда не нарушится ,если изменить(отбросить или добавить) конечное число членов

2) ∑Un, ∑CUn

Если ряд Un сходится и его сумма равна S, то и ∑СUn сходится , и его ∑=С*Sn(C≠0)

3) ∑Un, ∑Vn

Суммой или разностью этих рядов будет - называется следующий ряд ∑( Un±Vn ), где элементы полученные в результате сложения или вычитания исходных элементов с одинаковым номеров

Теорема:

Если ряды ∑Un , ∑Vn сходятся и их суммы соответственно S и X,то ряд ∑(Un±Vn) также сходится и его сумма равна S±X

Разность 2х сходившихся рядов также является сходящейся.

Сумма сходящихся и расходящихся рядов является расходящимся рядом.

О сумме 2х расходящихся рядов общим утверждением сказать нельзя.

Критерий Коши.

Для того чтобы последовательность а1,а2….аn была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы для любого Ƹ>0 существует номер N,что при n>N и для любого р>0,где p Z выполняется следующее равенство |an₊p- an|<Ƹ

Доказательство:

Необходимость an a для любого Ƹ>0 найдется номер N,что неравенство |a – an|< при n>N

При этом же условии и для любого p Z>0

|a - an₊p| <

|an₊p- an|= (an₊p- a)+( a – an) + =Ƹ критерий для ряда

Для того чтобы был сходимым необходимо и достаточно чтобы для любого Ƹ>0 существовал номер N , n > N и для любого p>0 выполняется следующее неравенство

|Un₊1+ Un₊2+…+Un₊p|<Ƹ

|Sn₊p –Sn|<Ƹ

На практике используются другие признаки:

Если ряд сходится ,то необходимо чтобы общий член ряда стремился к 0. Однако данное условие не является достаточным. Если общий член не стремится к 0,то ряд однозначно расходится.

Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена.

Ряды с неотрицательными членами.

Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Пусть даны Un и Vn, Un 0 ,Vn 0

Теорема: если Un Vn при любых n ,то из сходимости ряда Vn следует сходимость ряда,a из расходимости ряда Un следует расходимость ряда Vn. ∑Un ∑Vn, Sn Xn

Доказательство: так как по условию теоремы ряд Vn сходится, то его частичные суммы ограничены. Т.е при всех Xn M ,где M- некоторое положительное число. Т.к Un меньше Vn отсюда следует Sn Xn .