5)Криволинейный интеграл I рода. Криволинейный интеграл II рода

Осн. понятия.Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ(L) длины l. Рассмотрим непрерывную ф-ию (х,у) определенной в точках дуги АВ (точками) М₀ =А, М₁ ,М₂ , …, М_n = В на n произвольных дуг М_{i - 1} M_i с длинами ∆l_i (1≤i≤n).

Выберем на кажой дуге М_{i - 1} M_i произвольную точку (x_i ^, ỳ_i ) и составим сумму (x^_i ,ỳ_i) _i (1).Ее наз-ют интегральной суммой для ф-ии (х ,у) по кривой АВ. Пусть  = мах _I - наибольшая из дуг деления. Если при  0 (тогда n ) существует конечный предел интегрированных сумм (1) то его наз-ют криволинейным интегра­лом от ф-ии  (х,у) по длине кривой АВ (или первого рода) и обознач (х,у)dl или (  (х,у)dl). Т.об. по определению (2)

Условие существования криволинейного интеграла первого рода.

Осн. свойства. Теорема: если ф-ия (х ,у) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (х ,у)L существует касательная к данной кривой, то положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл первого рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения на части, ни от выбора точек в них.(без док-ва)

Основные свойства.

1 , т.е. криволинейный интеграл первого рода от направ­ления пути интегрирования.

2 c-const

3

4 если

играет ряд, эл-ми к-ого явл-ся степенные ф-ии арг-та x, т.е. так наз-мый “степенной ряд”:

(2)

Действит или комплексн. число наз-ся коэфф-мом ряда.

Криволинейный интеграл II рода, основные понятия.

Пусть в плоскости ОXY задана непрерывная кривая АВ (или L) и фун-я P(x,y)- определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками A, M₁, М₂, …, М_n=В в направлении от точки А к точке В на n дуг M_i-1M_i c длинами l_i (i= 1,2,..n) На каждой элементарной дуге M_i-1M_i возьмем точку и составим сумму вида:

(1), где - проекция дуги M_i-1M_i на ось ОХ.

6)Свойства криволинейного интеграла 2 рода.Формула Остроградского-Грина

1. Криволинейный интеграл определяется подынтегральным выражением, формой кривой интегрирования и указанием направления интегрирования. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак. 2. Если участок кривой L от точки M до точки N разбить точкой K на две части MK и KN , то непосредственно из определения криволинейного интеграла II рода следует, что .Если криволинейный интеграл II рода вычисляется по замкнутой кривой L , то его называют криволинейным интегралом II рода по замкнутому контуру и обозначают . При вычислении криволинейного интеграла II рода по замкнутому контуру необходимо учитывать направление обхода замкнутой кривой L (против часовой стрелки или по часовой стрелке).

Сумма (1) называют интегральной суммой для функции P(x,y) по переменной х. Таких сумм можно составить бесконечной множество. Криволинейным интегралом по координате х (или вторго рода) то фун-и P(x,y) по кривой АВ называют при условии, что предел существует. Аналогичным образом вводиться криволинейный интнграл от Q(x,y) по кординате у: , где проекция дуги M_i-1 M_i на ось Оу. Криволинейный интеграл вторго рода общего вида: определяется равенством

Формула Остроградского-Грина

Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

 Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:

 

 Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.

 Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область  все время оставалась по левую сторону линии обхода.