32.Операция умножения матриц.
Операция умножения или деления матрицы любого размера на произвольное число, сводится к умножению или делению каждого элемента матрицы на то число.
α
А=
α а11 α а12 … α аmn1
α а21 α а22 … α аmn2
: : :
α amn α amn α amn
α(A±B)= αА± αB
A(α±β)=αA±βA
Произведение матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по формуле.
С=A*B
=
=> Операция умножения матриц определена
только для матриц, число столбцов 1-й
матрицы из которых= числу 2-й матрицы.
Свойства операции умножения матрицы.
1)Умножение некоммутативно
ab≠ba
О
днако
если для каких либо матриц соотношение
АВ=ВА выполняется, также матрицы
называются перестановочными.
Перестановочные могут быть только
квадратные матрицы только одного и
того же размера, порядка. АЕ=ЕА
А
=
а11 а12 * 1 0 = а11 а12
а21 а22 0 1 а21 а22
2)Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. if определены АВ и (АВ)С, то определены произведения ВС и А(ВС)
(АВ)С=А(ВС)
3) Операция умножения матриц дистрибутивно по отношению к сложению т.е. имеет смысл выражение.
А(В+С) и (А+В)С то соответств
А(В+С)=АВ+АС
(А+В)С=АС+ВС
4) if произведение АВ определено, то для любого числа α верно соотношение.
Α(АВ)=(αА)В=А(αВ)
5)
If
определено произведение АВ, то определено
произведение
=
,
где индекс Т обозначается транспонированная
матрица.
6)Для любых квадратных матриц детерминант произведения.
det(АВ)=det*F*debt
33. Элементарные преобразования. Миноры
1)Умножение строки на часло отличное от “0”
Операция умножения или деления матрицы любого размера на произвольное число, сводится к умножению или делению каждого элемента матрицы на то число.
α
А=
α а11 α а12 … α аmn1
α а21 α а22 … α аmn2
: : :
α amn α amn α amn
α(A±B)= αА± αB
A(α±β)=αA±βA
2)Транспонирование матриц.
Матрицу В называют транспониравонной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, if элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в каждом столбце матрица В.
А
=
а11 а12 … а13
а21 а22 … а23
: : :
an1 an2 an3
=
В
=
*=
а11 а12 … а13
а21 а22 … а23
: : :
an1 an2 an3
3) Определители( детерминанты)
Определителем обратной матрицы А называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле
detA=
*
– det
матрицы, полученный из исходной,
вычерчиванием 1-й строки и k
столбца.
В об случай (i=1,2,3…n)
Определитель
единичной матрицы равен единице.Для
рассматриваемой матрицы А, число
называется дополнительным минором
элемента матрицы
каждый элемент матрицы свой дополнительный
минор.
Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.
Дополнительный
минор, произвольная элемента квадратной
матрицы
= определителю матрицы, полученной из
исходной, вычерчиванием I
строки и j
столбца.
1
2 3
4
5 6 М22 = 1 3 = 9-21=-12
7 8 9 7 9
detА=( нахождение детерминанта)=0
Наиболее важным соотношением является
1)detA=det
2)det(A±B)=detA*debt
3)det(AB)=detA*debt
4)if в квадратной матрице поменять местами 2 строки и 2 столбца, то определитель матрицы изменит знак не изменившись по абсолютной величине.
5)При умножение столбца или строки на число, ее определитель умножается на это число.
6)If в матрице строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель =0
1
2 3
4 5 6
7 8 9
Столбцы или строки матрицы называются линейно зависимыми, if существует тих линейная комбинация, равная 0 , имеющее неравновесное решение.
7) if матрица содержит нулевой столбец, то ее определитель =0
8)Определитель матрицы не изменится, если к элементам из его строк или столбца прибавить , вычислить элементы др. строк или столбец умноженный на какое либо число ≠0
9)if для элементов какой либо строки или столбца матрицы верно соотношение
D=d1±d2 ; e=e1±e2; f=f1±g2, то
a
b c a b c a b c
d e f = d1 e1 f1 ± d2 e2 f2
k l m k l m k l m
Минор: if в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то опред. Составленный из элементов расположенных на пересечение этих строк и столбцов называемая минором матрицы А.
If выделено S строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка S.