3. Вычисление площади криволинейного сектора.

Пусть кривая AB задана в полярных координатах уравнением  ,  , причем    непрерывная и неотрицательная на отрезке   функция. Фигуру, ограниченную кривой AB и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы  , будем называть криволинейным сектором.

Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле

 

                        .      

Вычисление площади плоской фигуры.     

    

   

Для нахождения суммарной площади можно воспользоваться формулой:

S=

Пример:

 

4.Вычисление длины дуги кривой. Площадь поверхности тела вращения. Вычисление объёмов тел

Площадь криволинейной трапеции расположенной выше Ох, ограниченной сверху графиком y=f(x), слева и справа прямыми х=а,х=b, снизу осью Ох вычисляется по формуле: (1)

Если криволинейный трапеция ниже Ох т.е. f(x)≤0,то и S = модулю интеграла (1) и в этом случае (2)

Площадь фигуры ограниченна сверху непрерывной прямой y=f(x), снизу непрерывной кривой y=φ(x) слева и справа соответственно прямыми х=а и х= b определяется по формуле (3)

Если плоская фигура имеет «сложную формулу», то прямыми параллельными оси Оу ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить уже известные формулы.

Вычисление S криволинейной трапеции, ограниченной кривой заданной параметрически.

Если криволинейная трапеция ограниченна кривой заданной параметрически

Прямыми х=а, х=b и осью Ох, то ее Ы находиться по формуле (4)

Где t1 и t2 определяются из равенств a=φ(t1) и b=φ(t2)

Вычисление S криволинейной трапеции в полярных координатах.

Опр-е: Плоская фигура ограниченна кривой р=р(φ) и двумя полярными радиусами составляющие с полярной осью углы α и β, будет называться криволинейным сектором.

Пусть кривая заданная в полярных координатах уравнением р=р(φ) α<φ<β Тогда S криволинейного сектора вычисляется по формуле (5)

Длина дуги кривой

А) в прямоугольных координатах. Пусть задана кривая АВ, разобьем ее точками М1, М2,…, Мn на n частей. Соединив последовательно точки разбиения получим ломанаю вписанную в дугу a,b.

Это ломанная состоит из звеньев А1, М1, М2, …, Mn-1, B.

Примим обозначения Mi Mi+1=∆Li . Тогда периметр этой ломанной: Ln=∆Lo + ∆L1 + …+∆Ln-1 = ∆Li. Очевидно что с уменьшением ∆Li монотонная по своей форме приблизиться к дуге. Опр-е: Длиной l дуги АВ называется предел к которому стремиться периметр вписанный в эту дугу ломоной когда число звеньев неограниченно растет, а наибольшее из длин звеньев стремиться к нулю. Пусть кривая ав задана уравнением y=f(x), где f(x) непрерывна ф-ция имеющая непрерывную первую производную во всех точках [a,b] , тогда длина дуги l определяется формулой :

Б) длина дуги кривой заданной параметрическими уравнениями.

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями. Предположим, что ф-ции x(t) и y(t) непрерывны со своими производными, и х’(t)>0.

Произведем в этом интеграле замену, пожив x=x(t). Т.к. при этом y=y(t), то по правилу дифференцирования ф-ции, заданной параметрически, найдем y’x=y’t(t)/x’(t) и замечаем что dx= x’(t)dt, получим

Следовательно

(7) где a=x(t1),b=x(t2)

В) длина дуги кривой заданной в полярных координатах. Полярные координаты р=р(φ) α≤φ≤β. Предположим что р и р’ непрерывны на отрезке [α,β]. Эту кривую можно задать параметрически, примимая за параметр угол φ. Действительно, м/у декартовыми и полярными координатами существует зависимость x=p cos φ, y= p sin φ, x’= p’ cos φ – p sin φ, y’ = p’sin φ + p cos φ . Подставляем формулу для вычисления длины дуги. Получим

Вычисление объема тела вращения.

Пусть тело образованно вращением Ох криволинейной трапеции заданной неперрывной ф-цией y=f(x) на отрезке [a,b], тогда V тела вращения вычисления по ф-ме

Замечание: Если криволинейная трапеция 0≤х≤φ(у), а ≤у≤b вращается вокруг Оу, то V тела вращения вычисления по ф-ле:

Вычисление поверхности вращения.

Пусть ф-ция f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a,b] тогда поверхность образованна вращением графика этой ф-ции вокруг Ох имеет площадь S, которая может быть вычислена по формуле: