40.Интегральный признак Коши для знакоположительных рядов. Пример исследования сходимости обобщенного гармонического ряда

Пусть члены ряда положительны и убывают, т.е. и пусть f(x)непрерывная, положительная убывающая функция, определённая для х>=1 и такая, что f(1)= , f(2)= ,…,f(n)= ,…,тогда и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Исследуем вопрос о сходимости ряда . Решение. Применим интегральный признак сходимости, тогда Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим несобственный интеграл

1.Если , то =

2. Если .

Ряд расходится. Тогда несобственный интеграл

поэтому и ряд, который является обобщенным гармоническим

28. Ду с разделяющимися переменными. Пример

Уравнения вида y’ =f₁(x)f₂(y) называются уравнениями с разделяющимися переменными. Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразования в уравнение с разделенными переменными. Это : dx/f₂(y), тогда уравнения запишутся так: dy/f2(y)=f1(x)dx. Проинтегрируем ∫dy/f2(y)=∫f1(x)dx. После получения общего решения необходимо проверить, являются ли нули функции f2(y) решениями заданного уравнения и заключены ли они в общем интеграле.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение .

Разделим переменные:

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

Осталось лишь выразить у через х :

Найдем также нулевые решения:

30. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка и уравнения Бернулли.

Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно у. Если f(x)=0, то уравнение называется линейным однородным, иначе- лин. Неоднород.

Лин. Однород.-это ур-е с раздел-ся переменными, его общее решение выражается формулой у=Се^-∫p(x)dx. Для реш-я лин неоднород ур-я можно применить метод вариации произвольной постоянной, тогда общее реш-е неоднород

у=С(х) е^-∫p(x)dx.

Уравнением Бернулли наз-ся ур-е вида y’+p(X)y=q(x)y^α, где α-действительное число. В случае α=0,α=1 ур-е является линеным. Во всех других случаях оно сводится к линейному при помощи подстановки u=y^1-α. Но можно решать подстановкой y=uv.Записав ур-е в виде u’v+(v’+p(x)v)u=q(x)u^αv^α, находим частное реш-е ур-я v’+p(x)v=0 и общее реш-е ур-я u’=q(x)u^αv^α-1.Тогда y(x)=u(x,C)v(x) даст общее реш-е ур-я Бернулли.

16 Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.

1. Ин-л вида , где R обозначена рац. ф-ция своих аргументов сводиться к ин-лу от дробно-рац. ф-ции с помощью замены переменной ; = , где S – наим. общ. кратное показателей всех корней, входящих в подинтеграл. ф-цию S=НОК(k,m,…n)

Пр: = = = 6 = 6 = 6 + c=6 =6 +C

2. В и-лах вида вводится подстановка t= с помощью которой и-л рационализируется, т. е. сводится к предыдущему методу.

3. И-лы, связанные с подстановкой Эйлера.

18 Свойства определенного интеграла.

Значение опред. и-ла – это число(любое).

1. Значение опред. и-ла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т. е. .

2. 0. В граф.иллюстрации этого случая (a=b) отрезок ab вырождается в точку, а криволин.трапеция вырождается в отрезок, у которого площадь=0

3. 

4. Св-во линейности опред.и-ла.

5. Св-во адитивности опред.и-ла. . Это св-во справедливо для люб.взаимного расположения точек a,b,c.

6. 

7. Теорема об интегрировании неравенств: если в люб.точке x отрезка ab выполняется нер-во f(x) g(x), то ф-ции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке ab и выполняется нер-во:

8. Теоремы об оценке опр.и-ла. 1)Если на отр. ab ф-ция удовлетворяет нер-ву m f(x) M, то опр. и-л от ф-ции удовл. нер-ву m(b-a) M(b-a). 2)Если ф-ция y=f(x) интегрируема на отр. ab, то

9. Теорема о среднем: если ф-ция y=f(x) непрерывна на отр. ab, то на этом отр. существует т.С, такая, что .