Элементы математической статистики Генеральная выборочная совокупность

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному признаку, называется статистической совокупностью.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность случайно выбранных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

Повторная и бесповторная выборка

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность.

Аналогично бесповторной.

Репрезентативная выборка

В силу закона больших чисел выборка будет репрезентативной, если отбор будет проходить случайным образом.

Способы отбора:

1. отбор, не требующий разделения генеральной совокупности – простой случайный повторный и бесповторный отбор

2. отбор, при котором генеральный отбор разбивается на части – типический, серийный, механический

Механическим называется отбор, при котором генеральная совокупность механически делится на столько групп, сколько объектов должно пойти в выборку, и из каждой группы отбирают по одному объекту.

При серийном отборе объекты отбирают сериями, а не по одному.

На практике применяют и комбинированные методы.

Статистическое распределение выборки

Пусть из совокупности Х извлечена выборка х₁, х₂,… х_n. Наблюдаемые значения х_i называются вариантами.

Последовательность вариант, записанных в возрастном порядке, называется вариационным рядом.

хi	х1	х2	…	хn
mi	m1	m2	…	mn

Пример

хi	18	19	20	21
mi	3	5	1	1
mi	0,3	0,5	0,1	0,1

Методы построения точечных оценок

1. Метод моментов (метод Пирсона)

По этому методу приравниваются теоретические и эмпирические моменты СВ.

Метод моментов отличается простотой, однако оценки, найденные этим методом, как правило, являются смещенными и малоэффективными.

Пример

При снятии показаний измерений прибора десятые доли оцениваются на глаз наблюдателя. 6 наблюдателей считывание и получило следующие данные (в десятых долях шкалы): 4, 2, 3, 5, 3, 1. Предположим, что ошибка отсчета по шкале является СВ, имеющей равномерный закон распределения. Требуется, пользуясь методом моментов, найти точечные оценки параметров a и b равномерного закона распределения.

11

1. Метод максимального правдоподобия (МП)

Из генеральной совокупности произведена выборка объема n

Пусть Х – дискретная СВ, закон распределения зависит только от одного параметра (например распределение по закону Пуассона).

Будем рассматривать результаты выборки как реализацию n-мерной СВ (Х₁, Х₁,… Х_n).

- функция правдоподобия.

Если СВ непрерывна, то .

При оценивании неизвестного параметра исходят из эмпирического правила: событие, более вероятное, происходит чаще, чем событие, менее вероятное. Поэтому в качестве оценки выбирается такая функция , которая максимизирует функцию правдоподобия L.

(3)

Поскольку максимум функции L и максимум совпадает, то на практике удобнее искать .

У метода максимального правдоподобия есть ряд преимуществ: он приводит к асимптотически эффективным и состоятельным оценкам, но оценки являются смещенными и сама система уравнений (3) является громоздкой.

Пример

Пусть СВХ распределена по закону Пуассона. m изменяется от 0 до n. Можно считать, что СВХ принимает значения .

Построим функцию правдоподобия

Найдем производную

2. Метод наименьших квадратов

По методу наименьших квадратов требуется таким образом подобрать коэффициенты функции так, что сумма квадратов разности между точками была минимальной.