3 Т. «Сложения вероятности несовместных событий 20

P(A+B)=(m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n=

P(A)+P(B)=P(A+B)

{ A – m₁

{B –m₂ =>A+B – m₁+m₂

Т. «Умножения вероятностей зависимых событий»

Условная вероятность P_B(A) события A, когда событие B произошло – вероятность события A при условии, что B имело место => произведение 2-х зависимых событий равно произведению одного из них на условную вероятность второго.

P(AB)=P(B)∙P_B(A)=P(A)∙P_A(B)

Д ок-во:

m₁ – A

m₂ – B

m – AB

n – вся область

P(AB)=m/n∙m₁/m₁=m₁/n∙m/m₁=P(A) ∙P_A(B)

P(AB)=m/n∙m₂/m₂=m₂/n∙m/m₂=P(B) ∙P_B(B), ч.т.д.

Если события независимые, то P_A(B)=P(B)

Следствие1: Если события A и B независимые, то P(AB)=P(A)∙P(B)

Док-во: см. выше

Следствие2: Если сущ. k зависимых событий, то вероятность их совместного наступления, то вероятность их произведения равна вероятности 1-го из них на условные вероятности остальных при условии, при условии, что предыдущие события имели место.

P(ABC)=P[(AB)C]=P(AB)∙P_AB(C)=P(A)∙P_A(B)∙P_AB(C)=>

P(AB…KM)=

P(A)∙P_A(B)∙P_AB(C)…P_A…K(M)

Н-р, P₁=0,9 P₂=0,95

P(AB)=P(A) ∙P(B)=0,9∙0,95

Т. «Сложения вероятностей 2-х совместных событий»

Вероятность суммы 2-х совм. событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∙B)

A+B=A+B-AB

A+B=AA¯+BB¯+AB =>P(A+B)=P(AA¯)+P(BB¯)+P(AB)

{A=AA¯+AB

{B=BB¯+AB =>

{AA¯=A-AB

{BB¯=B-AB=>

{P(AA¯)=P(A)-P(AB)

{P(BB¯)=P(B)-P(AB)

P(A+B)=P(AA¯)+P(BB¯)+P(AB)=

P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)+P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB), ч.т.д.

Н-р, P₁=0,9 P₂=0,95

P(A+B)=0,9+0,95-0,9*0,95=0,995

5Формула полной вероятности

События, независимые в совокупности – такие события, среди к. любое одно не зависит от остальных

B₁,B₂,…B_n – независимые в совокупности

Событие A наступает, когда наступает одно из B_i

A=B₁A+B₂A+…+B_nA

P(A)=P(B₁A)+P(B₂A)+…+P(B_nA)=

P(B­₁)P_B1(A)+P(B₂)P_B2(A)+…+ P(B_n)P_Bn(A) – ф-ла полной вероятности

Н-р, всего 10 станков. из них

A – 5 шт. P(A)=0,9

B – 3 шт. P(B)=0,8

С – 2 шт. P(C)=0,95

P(A₁)=0,5∙0,9+0,3∙0,8+0,2∙0,95=0,88

H_i H₁,…H₂,…,H_k; A,B

P(AB)=P(A)∙P_A(B)=P(B)∙P_B(A)

P_A(B)=P(B)∙P_B(A)/P(A)

P_A(H_i)=P(H_i)∙P_Hi(A)/_i=1∑^kP(H_i)P_Hi(A) –формула Байеса =>

P_A(H₁)= P(H₁)∙P_H1(A)/( P(H₁)P_H1(A)+ P(H₂)P_H2(A)+…+ P(H_k)P_Hk(A))

Н-р, прибор состоит из 2-х узлов: A и B.

P_A=0,8 P_B=0,85 C- прибор не работает

P_C(A) –?

{H₀– AB P(H₀)=0,8∙0,85=0,68

{H₁ – A¯B P(H₁)=0,2∙0,85=0,17

{H₂ – AB¯ P(H₂)=0,8∙0,15=0,12

{H₃ – A¯B¯ P(H₃)=0,2∙0,15=0,03

6.Вероятность наступления хотя бы 1-го события

Пусть A – наступление 1-го из событий A₁,A₂,…,A_k

A+A¯= Ω

P(A)+P(A¯)=1

P(A)=1-P(A¯₁,A¯₂,…,A¯_k)=1-P(A₁¯)∙P(A₂¯)…P(A_k¯)

q – вероятность противоположного P(A) события

q=1-q₁q₂…q_k=1-q^k, при q₁=q₂=…=q_k=q

Т. Вероятность наступления хотя бы одного из событий, являющихся независимыми в совокупности, равна единице без произведения вероятности противоположных (док-во см. выше)

Н-р,

P₁=0,9 P₂=0,95 P₃=0,85

P(A)1-0,1∙0,05∙0,15=0.99925

7

Схема Бернулли –схема, когда в р-те опыта происходит одно, или др. событие

P_n(m) – n –кол-во испытаний m – кол-во появления события

Н-р, A – p; A¯ –q

1) n=3 P₃(2)=3p²q=C₃²p²q

2) P₄(2)=6p²q²=C₄²p²q²

P_n(m)=C_n^mp^mq^n-m –ф-ла Бернулли (ф-ла бинома)

(p+q)ⁿ=pⁿ+np^n-1q+…+C_n^kp^n-kq^k+…+qⁿ=1

Н-р, p=0,3

P₇(3)=C₇³∙0,3³∙0,7⁴=0,227

Н-р, p<0,1

n=10000

m=100

P_n(m)=C_n^mp^mq^n-m

np=λ p= λ/n

P_n(m)=n(n-1)(n-2)...[n-(m-1)]/m!∙(λ/n)^m(1-λ/n)^n-m=(1-1/n)(1-21 2/n)…(1-(m-1)/n)∙1/m!∙ λ^m(1-λ/n)^-m переходя к пределу получаем, что P_n(m)=λ_‑^me^-λ/m! –ф-ла Пуассона (для больших n), т.к. lim_n→∞(1-λ/n)ⁿ=e^-λ

Н-р, n=1000 p=0,04 m=48 q=0,96

λ=1000∙0,96=960

P₁₀₀₀(48)=960⁴⁸∙e^-960/48!

8

Т. «Муавра-Лапласа». Если вероятность наступление события A –p, постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что в n испытаниях событие произойдёт m раз, м. ≈ посчитать по ф-ле:

φ(x)=1/ √(2π)∙e^-x*x/2

P_n(m)≈ φ(x)/ √(npq), где x=(m-np)/ √(npq) – локальная ф-ла Лапласа

Т. «Интегральная т. Лапласа». Если вероятность наступление события A –p, постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что в n испытаниях событие произойдёт от m₁ до m₂ раз, м. ≈ посчитать по ф-ле:

P_n(m₁,m₂)≈ 1/ √(2π)_x1∫^x2 e^-x*x/2dx, где x₁=(m₁-np)/ √(npq) x₂=(m₂-np)/ √(npq)

Φ(x)=1/√ (2π)∙ 0∫x e^-t*t/2dt – ф-ия Лапласа

Ф(-x)=-Ф(x)

P_n(m₁,m₂)≈ 1/ √(2π)(_x1∫⁰ e^-t*t/2dt+ ₀∫^x2 e^-t*t/2dt=Ф(x₂)-Ф(x₁)=P_n(m₁,m₂)

Н-р, P(A)=0,8

n=1000,m₁=700,m₂=760

x₁=(700-1000∙0,8)/√(1000∙0,8∙0,2)=-7,9

x₂=(760-1000∙0,8)/√(1000∙0,8∙0,2)=-3,16

P₁₀₀₀(700,760)=Ф(7,9)-Ф(3,16)=0,5-0,49=0,01

9

Наивероятнейшее число появления события

n,p Пусть m₀– и есть искомое число

p(m₀-1)≤p(m₀) ≥p(m₀+1)

C_n^m0-1∙p^m0-1∙q^n-(m0-1)<C_n^m0∙p^m0∙q^n-m0

q<(n-(m₀-1))/m₀∙p

m₀q<(n-(m₀-1))p

m₀q<np-m₀p+p

m₀<np+p

np-q<m₀<np+p

Для др. случаю анологично