15Дисперсия св (дискретной)

Чтобы оценить, как рассеяны возможные зн-ия СВ Х вокруг её М(х), пользуются числовой хар-кой – дисперсией(рассеиванием) – мат. отклонение квадрата отклонения СВ от её М(х)

D(х)=М[x-M(x)]²

M(x-M(x))=M(x)-M(M(x)){=M(x)}=

M(x)-M(x)=0

D(x)=M[x²-2x∙M(x)+M²(x)]=

M(x²)-2M²(x)+M²(x)=M(x²)-M²(x)

D(x)= M(x²)-M²(x)

D(x)=_-∞∫^∞(x-m_x)²∙f(x)dx – для непрерывных

Св-ва дисперсии:

1) D(c)=0 (по определению) 23

2)D(cx)=c²D(x)

Док-во:

D(cx)=M[cx-M(cx)]²=

c²M[x-M(x)]²=c²D(x), ч.т.д.

3)D(x+y)=D(x)+D(y), где x и y –независимые СВ

док-во:

D(x+y)=

M[(x+y)²]-M²(x+y)=

M(x²)+M(y)²+2M(xy)-(M(x)+M(y))²=

D(x)+D(y)

аналогично для 3-х и т.д. величин

Следствия:

1)D(c+x)=D(x)

док-во: D(c+x)=D(c)+D(x)=0+D(x)=D(x)

2)D(x-y)=D(x)+D(-y)=

D(x)+(-1)²D(y)=D(x)+D(y)

Механическая интерпретация D(x):

Момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (М(х)); размерность = размерности СВ Х

Дисперсия в n независимых испытаниях

D(x)=npq

p – вероятность появления

q –вероятность непоявления

Док-во:

X=X₁+X₂+…+X_n p₁=p₂=…=p_n=p

D(x)=D(x₁)+D(x₂)+…+D(x_n)

D(x₁)=M(x₁²)-M²(x₁)

M(x₁)=1∙p

M(x₁²)=1²∙p+0∙q=p

D(x₁)=p-p²=p(1-p)=pq

Для n независимых СВ D(x)=npq, ч.т.д.

16Среднеквадратическое отклонение св х –

σ(x)=√D(x)

Cв-во:

1) σ(x₁+x₂+…+x_n)= √(σ²(x₁)+σ²(x₂)+…+σ²(x_n))

Т. ср.кв. отклонение от суммы случайных величин равно кв. корню из суммы квадратов ср. кв. отклонений этих величин

Док-во:

по определению

σ(x)=√D(x)

σ(x₁+x₂+…+x_n)= √D(x₁+x₂+…+x_n)= √(D(x₁)+D(x₂)+…+D(x_n))= √(σ²(x₁)+σ²(x₂)+…+σ²(x_n))

17Моменты св х:

1) начальный момент k-го порядка СВ Х – мат. ожидание от x^k

M^k=M(x^k)

а)M₁=M(X)=m_x

б)M₂=M(x²), D(x)=M₂-M₁²

в)M₃=M(x³)

2)центральный момент k-го СВ Х – мат. ожидание от отклонения СВ от мат. ожидания в степени k.

M(x-M(x))^k=μ_k

a)для дискр. μ_k={ _i=1∑ⁿ(x_i-m_x)^kp_i

b)для непрер. {_-∞∫^∞(x-m_x)^k∙f(x)dx, где f(x) – плотность вероятности

Н-р, μ₁=M(x-m_x)=0

μ₂=M(x-m_x)²=M(x²-2xm_x+m_x²)=

M(x²)-2m_x²+m_x²=D(x)

μ₃=M(x-m_x)³=M(x³-3x²m_x+3xm_x²-m_x³)=

M₃-3M₂M₁+3M₁³-M₁³

18Важнейшие з-ны распределения вероятностей cв:

з-н равномерного распределения СВ:

распределение вероятностей СВ на нек. отрезке [a,b] – такое распределение, у которого плотность имеет вид:

f(x)={c a≤x≤b

{0 x¢(a,b)

_a∫^bcdx=1 => c(b-a)=1 => c=1/(b-a) =>

f(x)={1/(b-a) a≤x≤b

{0 x¢(a,b)

F(x)={(x-a)/(b-a) x≥a

{1 x≥b, т.к.

F(x)= _a∫^xdx/(b-a)

Показательный з-н распределения

f(x)={0 x<0

{αe^-αx x≥0

F(x)=₀∫^x αe^-αxdx=e^-αx ₀|^x=1-e^-αx

M(x)=1/α

Нормальный з-н(з-н распределения Гауса):

Распределение наз. норм., если

f(x)=1/(√(2π)σ)∙e^{-(x-a)(x-a)/2/σ/σ}

M(x)=1/(√(2π)σ)∙_-∞∫^∞x∙e^{-(x-a)(x-a)/2/σ/σ}dx=

|(x-a)/σ=t dx=σdt x=a+σt|=1/(√(2π)σ)∙_-∞∫^∞(a+σt)∙e^-t∙t/2σdt=a/√(2π)∙

_-∞∫^∞e^-t∙t/2dt{интеграл Пуассона}+

σ/√(2π)∙_-∞∫^∞te^-t∙t/2dt{0}= a/√(2π)∙√(2π)=a

a=M(x)=m_x

D(x) =1/(√(2π)σ)∙

_-∞∫^∞(x-a)∙e^{-(x-a)(x-a)/2/σ/σ}dx=|(x-a)/σ=t dx=σdt x-a=σt|=1/(√(2π)σ)∙_-∞∫^∞ σ³t²∙e^-t∙t/2dt= σ²/√(2π)∙_-∞∫^∞t∙t∙e^-t∙t/2dt=|U=t dU=dt

t∙e^-t∙t/2dt=dV V=-e^-t∙t/2|=

σ²/√(2π)∙(-t∙e^-t∙t/2_-∞|^∞{0}+

_-∞∫^∞e^-t∙t/2dt{инт. Пуассона})= σ²/√(2π)∙√(2π)=σ² => σ – ср. кв. отклонение

Интегральная ф-ия нормального распределения СВ Х€N(а,σ)

По опр-нию F(x)=P(X<x)=1/√(2π)∙₀∫^xe^-t∙t/2dt

Вероятность P(X<x) вычисля по интегралу вероятности 24 (ф-ия Лапласа) Ф(х)= 1/√(2π)∙₀∫^xe^-t∙t/2dt;

Осн. св-ва:

1) Ф(-х)=-Ф(х) св-ва нечет.

2) x₂>x₁ => Ф(х₂)>Ф(х₁) –cd-во монотонности

Использую нормированную ф-ию Л.(а=0, σ(х)=1) м. записать

F(x)=1/2+1/2∙Ф((х-а)/σ) – гипотетическая ф-ия

Вероятность попадания СВ Х€N(а,σ) в заданный интервал

Известно P(α<x<β)= _α∫^βf(x)dx

при нормальном распределении P(α<x<β)= 1/(√(2π)σ) _α∫^β e^{-(x-a)(x-a)/2/σ/σ}dx=

|(x-a)/σ=z dx=σdz x=σz-a|=

1/(√(2π)σ) _(α-a)/σ∫^(β-a)/σ e^-z∙z/2 σdz=

1/√(2π) [₀∫^(β-a)/σ e^-z∙z/2 dz-₀∫^(α-a)/σ e^-z∙z/2dz]=

Ф((β-а)/σ)- Ф((α-а)/σ)= P(α<x<β)

19

Правило 3-х сигм

Рассм. P(|x-a|<δ), где δ=σt

используем P(|x-a|<δ)=2Ф(δ/σ)

P(|x-a|<σt)=2Ф(t) => при t=3 P(|x-a|<3σ)=2Ф(3)=2∙0,498≈1

Если X распределена нормально, то абсолют. величина отклонения от М(х) не превосходит утроенного произведения ср. кв. величины σ(х)

Вычисление вероятности заданного отклонения

P(|x-a|<δ)= P(a-δ <x<δ+a)=Ф(((а+δ)-а)/σ)-Ф(((а-δ)-а)/σ)=2Ф(δ/σ)

20З-н больших чисел

Св-во устойчивости массовых случайных явлений известно. Оно почти не сказывается на ср. р-те; это св-во представляет собой физическое содержание «з-на больших чисел». Однако, р-т практически перестаёт быть случайным и м. б. предсказан с большой степенью определённости, т. е. это означает приближение ср. хар-к большого числа опытов к нек. опр. постоянности. Обусловлено рядом предельных теорем, под названием центральных предельных теорем.

Нер-во Чебышева

Рассмотрим дискр. СВ Х

X	X1	X2	…	Xn
P	p1	p2	…	pp

Нер-во Чебышева: вероятность того, что отклонение СВ Х от её М(х) по абс. величине меньше нек. ε, не меньше 1-D(x)/ε², т.е.

P(|x-a|<ε)≥1-D(x)/ε², где a=M(x)

Док-во:

т.к. |x-a|<ε и |x-a|≥ε противоположны, то сумма их вероятностей

P(|x-a|<ε)+P(|x-a|≥ε)=1

P(|x-a|<ε)=1-P(|x-a|≥ε)

по опр. D(x)=[|x₁-M(x)|]²p₁+

[|x₂-M(x)|]²p₂+…+[|x_n-M(x)|]²p_n

Отбросим слагаемое |x_i-M(x)|<ε, (k слагаемых)

D(x)≥[|x_k+1-M(x)|]²p_k+1+

[|x_k+2-M(x)|]²p_k+2+…+[|x_n-M(x)|]²p_n

т.к. |x_i-M(x)|≥ε [|x_i-M(x)|]²≥ε² =>

D(x)≥ε²∙(p_k+1+p_k+2+…+p_n)

(p_k+1+p_k+2+…+p_n)=P(|x-a|≥ε)

D(x)≥ε²∙P(|x-a|≥ε)

P(|x-a|≥ε)≤D(x)/ε² =>

P(|x-a|<ε)≥1-D(x)/ε², ч.т.д.