1. Определение вероятности. 1

Вероятностью Р(А) наз. числовая функция Р, определенная на сигма-алгебре множества F и удовлетворяющим следующим 3 аксиомам:

1. Р(А)0;

2. Р()=1;

3. Если есть А₁,А₂,…,А_n, то вероятность суммы

Примечание 3-я аксиома равносильна аксиоме непрерывности .

Классическое определение:

Вероятностью события А наз. отношение числа элементарных исходов m, благоприятствующих наступлению события А к общему числу возможных исходов n.

;1-ый недостаток: в этом определении число исходов конечно.

Геометрическое определение:

; отношение меры(длина, площадь, объём) к мере.

; (отношение длины к длине); ; (отношение площадей).

Статистическое определение:

; общее число испытаний; число опытов, в которых наступило событие А; относительная частота наступления события А.

Теорема о вероятности суммы событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) – формула вероятности суммы произвольных событий.

Вероятность суммы несовместных событий

(АВ=; А_iA_j= ij).

P(A+B)=P(А)+Р(В)

Для попарно несовместных событий:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=P(А₁)+P(А₂)+…+ P(А_n);

Перестановки.

Перестановками наз. комбинации из n элементов, отличающихся друг от друга лишь местоположением элементов.

n=2 - ab,ba; n=3 – abc, acb, bac, bca, cba, cab.

P_n=n!

Сочетания.

Сочетания из n элементов по m элементов наз. комбинации, отличающихся друг от друга лишь составом элементов.

Пример: Из 12 разведчиков в разведку надо отправить 3.

Размещения.

Размещениями наз. комбинации из n элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга не только составом элементов, но и их месторасположением.

Пример. На разведку минного поля из 12 разведчиков надо послать 3.

2. Условная вероятность. Независимое событие. Формула умножения вероятности.

Условная вероятность.

условная вероятность(вероятность события А при условии, что произошло событие В).

;

Пусть произведению событий А и В благоприятствуют m исходов, событию В – k исходов. Общее число возможных и равновозможных исходов = n.

; ;

.

Независимые события.

Событие А и В наз. независимыми, если P(AB)=P(A)P(B);

События наз. попарно независимыми, если для любой пары P(A_i,A_j)=P(A_i)P(A_j), .

События наз. A₁,A₂…A_n независимыми в совокупности, если P(A₁,A_2….A_n)=P(A₁)P(A₂)..P(A_n);

Вероятность наступления хотя бы одного события.

Пусть события А_1,А_2..А_n независимы в совокупности, тогда

ж

Если вероятность события обозначить , то вер-ть противоположного события обозн. .

P(A)=1-q₁q₂..q_n.

Когда А_1…А_n равновероятны, то .

3. Ф-ла полной вероятности. Формула Байеса. 2

Пусть события Н₁, Н₂, … ,Н_n, во-первых, попарно не совместны. , и во-вторых, они образуют полную группу событий.

, тогда Н₁, Н₂, … ,Н_n наз. гипотезами. Пусть некоторое событие А может наступить одновременно с какой-то из гипотез Н₁, Н₂, … ,Н_n. Поэтому А=АН₁+АН₂+…+АН_n. P(A)=P(H₁A+H₂A+…+H_nA)=P(H₁A)+ P(H₂A)+…+ P(H_nA)=

P(H₁)P(A/H₁)+ P(H₂)P(A/H₂)+… P(H_n)P(A/H_n).

. (1)

Формула Байеса.

Событие А свершилось. В ф-ле (1) считается вероятность до опыта (априорная), в ф-ле Байеса происходит пересчет гипотезы после опыта (апосториорная).

.