Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
В
координатной форме.
Рассмотрим тело (V)
в пространстве с ограничивающей
поверхностью (S).
Рассмотрим
некую функцию R(x,y,z),
заданную в области (V)
и на границе, непрерывную в этой области
и на границе вместе со своими частными
производными первого порядка. Рассмотрим
интеграл
.
Спроецируем тело на область D.
Возьмём точку (x,y).
С
делаем
то же самое, но с проекцией на оси y
и z.
Теперь спроектируем на оси x и z.
Складывая эти формулы, получаем формулу Остроградского-Гаусса: . Формула сводит интеграл от объёма к интегралу по границе.
Если
и
или
и
или
и
,
тогда
.
А если
,
и
,
то:
.
В общем виде теорема звучит так. Пусть в замкнутой ограниченной области (V) заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z), непрерывные на (V) вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда имеет место следующее тождество: .
З
апись
формулы в векторном виде.
Пусть
.
В обычном виде формула выглядит так:
Левую
часть можно записать так:
,
,
.
Следовательно:
,
так как
.
Мы получили поток
вектора через замкнутую поверхность.
Правую часть можно записать как
дивергенцию
(расходимость):
.
В итоге формула
Гаусса-Остроградского в векторном виде:
.
Читается так: поток вектора через
замкнутую поверхность равен интегралу
по объёму от его дивергенции.
Дивергенцией
векторного поля A
в точке MÎV
называется производная функции
по объему в этой точке:
.
Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
.
{ф. Грина}=
=
.
Аналогично
c
,
c
.
Теорема: Пусть в некоторой окрестности поверхности S функции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют непрерывные частные, производные первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение:
.
(Формула Стокса).
.
Инвариантная
запись формулы Стокса:
Используя выражение для
в ортогональном базисе
,
:
.
Укажем на поверхности S
определенную сторону, т.е. укажем
непрерывное поле единичных нормалей
.
Используя стандартное обозначение
cosx,
cosy, cos
для координат единичного вектора
нормали
к поверхности S
получим:
.
Из соотношения видно, левая часть формулы
Стокса может быть записана в виде
.
Скалярное произведение:
и элемент площади
поверхности S не зависят от выбора
декартовой прямоугольной системы
координат в пространстве, и при переходе
к новому ортогональному базису
',
левая часть формулы не изменит своего
значения и формы – инвариантна.
Рассмотрим
.
Пусть
– единичный вектор касательной в точках
границы L поверхности S, cosa, cosb, cos
– координаты этого вектора.
,
.
Т.о
– циркуляция
векторного поля p
по кривой L.
-
инвариант.
Получаем
=
.
Условия того, что криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования.
Следствие
из теоремы Стокса:
Необходимым условием того, что
криволинейный интеграл
не зависит от пути интегрирования,
является условие:
,
,
.
Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
Пусть D – область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в D задано скалярное поле, если каждой точке области D ставится в соответствие некая функция U(M).
Определение
по-другому. Скалярное
поле определяется скалярной функцией
точки
,
где M(x,y,z)
– точка пространства,
– её радиус-вектор.
Определение
градиента.
Градиентом скалярной функции u(M),
определенной и дифф в некоторой области
D,
называется вектор
.
.
Знак
- это вектор
Набла.
(
– единичный вектор с координатами:
).
Из
последнего выражения видно, что
максимально, когда
совпадает с направлением градиента.
Следовательно, градиент показывает
направление наибольшего изменения
скорости функции.
Градиент скалярного поля – вектор.
Свойства градиента:
